Непрерывность функции

Понятие непрерывности функции, так же как и понятие предела, является одним из основных в математическом анализе.

Определение 1. Функция называется непрерывной в точке , если она удовлетворяет следующим трем условиям: 1) определена в точке (т.е. существует ); 2) имеет конечный предел функции при ; 3) этот предел равен значению функции в точке , т.е

(1)

Пример. Исследовать непрерывность в точке заданных функций (рис.1):

а) ; б) ; в) ; г) .

Рис. 1

Решение:

а) В точке функция (см.рис.1,а) не является непрерывной, так как нарушено первое условие непрерывности – существование .

б) В точке функция (см.рис.1,б) не является непрерывной: первое условие непрерывности выполнено, существует (), но нарушено второе условие отсутствует (точнее говоря, здесь существуют односторонние пределы функции слева и справа , но общего предела при не существует).

в) В точке функция (см.рис.1,в) не является непрерывной: первые два условия непрерывности выполнены ( и ), но нарушено третье основное условие: .

г) В точке функция (см.рис.1,г) непрерывна, так как выполнены все три условия непрерывности: . 

Определение непрерывности функции (1) в точке может быть записано и так:

(2)

т.е. для непрерывной функции возможна перестановка символов предела и функции.

Очевидно, что непрерывность функции в данной точке выражается непрерывностью ее графика при прохождении этой точки (без отрыва карандаша от листа бумаги).

Замечание: В математическом анализе рассматривается также понятие односторонней непрерывности функции в точке слева (или справа), под которой понимается равенство значению функции одностороннего предела слева (или справа): (или ).

Очевидно, что функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда она непрерывна в этой точке слева и справа, т.е. .

Сформулируем еще одно определение непрерывности. Дадим аргументу приращение , определяемое как разность наращенного и исходного значения функции: (рис.2).

Рис.2

Определение 2. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции:

(3)

 Убедимся в равносильности двух приведенных определений непрерывности. Из определения 1 согласно (1) при следует , что , так как стремление равносильно условию .

На основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами функций можно записать , где - бесконечно малая величина при , т.е. .

Свойства функций, непрерывных в точке

1⁰. Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная (для частного за исключением тех значений аргумента, в которых делитель равен нулю).

Доказательство теоремы следует из определения непрерывности и аналогичных свойств пределов функций.

2⁰. Если функция непрерывна в точке и , то существует такая окрестность точки , в которой .

Доказательство этого свойства основывается на том, что при малых приращениях аргумента в соответствии с определением 2 непрерывности функции (3) можно получить как угодно малое приращение функции , так что знак функции в окрестности не изменится.

3⁰. Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке .

Доказательство этого свойства состоит в том, что малому приращению аргумента в силу второго определения непрерывности (3) функции соответствует как угодно малое приращение , приводящее в свою очередь в силу того же определения непрерывности к как угодно малому приращению .

Свойство 3 может быть записано в виде

, (4)

т.е. под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу.

Функция называется непрерывной в интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна в интервале и в точке непрерывна справа (т.е. ), а в точке непрерывна слева (т.е. ).

Можно доказать, что все элементарные функции непрерывны в области их определения.

Пример 2. Доказать непрерывность функции .

Решение: Функция определена при всех . Возьмем произвольную точку и найдем приращение :

Тогда , так как произведение ограниченной функции () на б.м.ф. () есть б.м.ф. .

Т.о., согласно определению 2 непрерывности функция непрерывна на всей числовой оси. 

Замечание: Еще раз подчеркнем, что непрерывность функции в любой точке области определения гарантируется лишь для элементарных функций. Рассмотрим в качестве примера функцию (читается «равно антье ), где - целая часть числа , т.е. наибольшее целое число, не превосходящее (например, ). В точке функция непрерывна, так как , а, например, в точке эта функция определена, но терпит разрыв, так как не существует (точнее, существуют неравные между собой конечные пределы функции слева и справа ) (рис.3).

Рис.3

Это связано с тем, что не является элементарной функцией, и, хотя, она определена на всей числовой прямой, разрывна во всех целых точках.

Точки разрыва, их классификация

Точка называется точкой разрыва функции , если эта функция в данной точке не является непрерывной, т.е. в ней не выполняется хотя бы одно из условий определения 1 непрерывности функции, а именно:

1. функция определена в окрестности точки , но не определена в самой точке ;

2. функция определена в точке и ее окрестности, но не существует предела при ;

3. функция определена в точке и ее окрестности, существует , но этот предел не равен значению функции в точке , т.е. .

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.

Точка разрыва называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа, т.е. и . При этом:

а) если , то точка называется точкой устранимого разрыва;

б) если , то точка называется точкой конечного разрыва. Величину называют скачком функции в точке разрыва первого рода.

Точка разрыва называется точкой разрыва второго рода функции , если хотя бы один из односторонних пределов или не существует или равен бесконечности.

Так на рис. 1,а - точка разрыва второго рода. Точка на рис.1,б – точка разрыва первого рода, причем, точка конечного разрыва. Скачок функции в этой точке равен 2. Точка на рис.1,в - точка устранимого разрыва.

Свойства функций, непрерывных на отрезке

1⁰. Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке (первая теорема Вейерштрасса³) (рис.4).

2⁰. Если функция непрерывна на отрезке , то она достигает на этом отрезке наименьшего значения и наибольшего значения (вторая теорема Вейерштрасса) (рис.5).

Рис.4 Рис.5

3⁰. Если функция непрерывна на отрезке и принимает на его концах неравные значения и , то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между и (теорема Больцано⁴-Коши⁵) (рис.6).

Следствие 3.1 Если функция непрерывна на отрезке и ее значения на концах отрезка и имеют противоположные знаки, то внутри отрезка найдется хотя бы одна такая точка , что (рис.7).

Рис.6 Рис.7

Следствие 3.1 лежит в основе так называемого «метода половинного деления», который используется для нахождения корня уравнения .

Эффективным средством для вычисления пределов является применение эквивалентных бесконечно малых величин. Данный способ основан на том, что предел отношения двух бесконечно малых не изменится, если эти бесконечно малые заменить им эквивалентными.