5.5 Симплексный метод планирования эксперимента

Лекция 10

а) Симплексный метод планирования эксперимента.

б) Порядок построения плана.

в) Достоинства и недостатки симплексного метода.

Иногда для исследователей представляет интерес получение линейного уравнения регрессии по планам, содержащим минимальное количество опытов, где количество опытов равно количеству коэффициентов уравнения регрессии. Такие планы называются насыщенными. Достоинством таких планов является минимальное количество опытов. Недостаток этих планов в том, что могут оказаться все коэффициенты регрессии значимыми и не останется степеней свободы для проверки адекватности модели.

, , (5.23)

где – количество значимых коэффициентов b_i

Но несмотря на это, на практике часто применяют насыщенные планы, надеясь на то, что хотя бы один из коэффициентов b_i окажется незначимым.

Одним из способов построения насыщенных планов является использование симплекс-планирования. Симплексом называется выпуклая фигура в многомерном пространстве, количество вершин которой превышает размерность этого пространства на единицу.

Например, в одномерном пространстве это отрезок прямой, в двумерном – треугольник, в трехмерном – тетраэдр и т.д.

Если все вершины симплекса равно удалены от центра, симплекс называется правильным (регулярным). Любые () вершин К-мерного симплекса лежат в одной гиперплоскости. Часть этой гиперплоскости, ограниченная ребрами, является гранью симплекса. При планировании эксперимента обычно используют правильные симплексы.

Количество опытов определяется по формуле:

n = k + 1, (5.24)

где k – количество факторов.

Математическая модель будет выглядеть следующим образом:

, (5.25)

Порядок построения плана:

1. Как и в случае ПФЭ или ДФЭ вначале выбирают центральный уровень и интервалы варьирования факторов.

2. Переменные кодируют для упрощения вычислений по формуле:

, (5.26)

где - значение фактора в кодированном виде;

– порядковый номер фактора.

3. Строится матрица планирования эксперимента в кодированном виде.

Рассмотрим построение матрицы планирования на примере двухфакторной модели.

Исходный симплекс может быть по-разному ориентирован в факторном пространстве. Если центр симплекса совпадает с началом координат, одна из вершин лежит на координатной оси, а остальные располагаются симметрично относительно координатных осей как изображено на рисунке 5.2, то координаты вершин симплекса задаются следующей матрицей, изображенной в таблице 5.5.

Сиплекс – равносторонний треугольник, длина стороны которого равна 1. Центр тяжести симплекса совпадает с началом координат и находится на пересечении медиан треугольника 03 = 2 0А.

Высота симплекса (H) при этом равна:

, (5.27)

Таблица 5.5 Матрица планирования эксперимента

n			. . . . .		y
1 2 3 4 . . n	x1 -x1 0 0 . . 0	x2 x2 -2x2 0 . . 0	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	xk xk xk 0 . . -kxk	y1 y2 y3 y4 . . yn

Рисунок 5.2 – Область факторного пространства

Для практического использования матрицы планирования численные значения факторов в кодированном виде рассчитаны по формуле (5.26) и представлены в матрице планирования в таблице 5.6.

Таблица 10.1 – Матрица планирования эксперимента для пятифакторного процесса

n	x0	x1	x2	x3	x4	x5	y1	y2
1 2 3 4 5 6 . . . n	+1 +1 +1 +1 +1 +1 . . . +1	0.5 -0.5 0 0 0 0 . . . 0	0.289 0.289 -0.578 0 0 0 . . . 0	0.204 0.204 0.204 -0.612 0 0 . . . 0	0.158 0.158 0.158 0.158 -0.632 0 . . . 0	0.129 0.129 0.129 0.129 0.129 -0.645 . . . 0	y1 y2 y3 y4 y5 y6 . . . yn	y1 y2 y3 y4 y5 y6 . . . yn

Эта матрица является ортогональной, симметричной, ротатабельной, но условие нормировки не выполняется, т.е. , а

4. По матрице проводится эксперимент (каждая строка матрицы – условия одного эксперимента), получают значения параметра оптимизации Y.

5. Проводится регрессионный анализ по первой или второй схеме в зависимости от наличия параллельных опытов в эксперименте. Предварительно вычисляют методом наименьших квадратов коэффициенты уравнения регрессии b_i по формулам:

, , (5.28)

где n – количество опытов в матрице планирования.

Дисперсия коэффициентов ( ):

, (5.19)

Как видно из формул, коэффициенты уравнения регрессии в симплексном планировании определяются с меньшей точностью, чем в ПФЭ или ДФЭ, т.е. математическая модель процесса здесь менее точная. На практике эти планы применяют часто, так как требуется выполнить минимальное количество опытов для получения математической модели процесса.

Построить эти планы со значениями факторов удается только для количества факторов, равного (4а-1), где а – целое положительное число. Например, для 3, 7, 11, 15 и т.д. факторов.

Наиболее широко симплексный метод применяют для оптимизации процесса.