5.9 Решение задачи оптимизации

5.9.1 Исследование поверхности отклика второго порядка

Если математическая модель выражена уравнением второго порядка, то выбор метода оптимизации зависит от вида поверхности отклика. По виду уравнения регрессии обычно не удается установить вид поверхности. Поэтому приходится прибегать к математическим методам исследования. Для этого переходят от полинома второго порядка:

Ŷ=в₀+в₁х₁+в₂х₂+в₁₂х1х₂+в₁₁х²₁+в₂₂х₂+….в_ккх²_к 5.63)

к каноническому (стандартному) уравнению вида:

Ŷ - у_s=В₁₁Х²₁+В₂₂Х²₂+….В_ККХ²_К, (5.64)

где y_s-расчетное значение выходного параметра в новом начале координат;

Х_i-канонические переменные, являющиеся линейными функциями факторов Х_i;

В_ii-коэффициенты канонического уравнения.

Преобразование уравнения регрессии из кодированного вида в канонический рассмотрим на примере двухфакторной математической модели.

Схема расчета:

1. определяют координаты центра поверхности отклика (s). Для этого необходимо решить систему уравнений:

у/х₁=0

у/х₂=0

или

в₁+в₁₂*х₂+2в₁₁*х₁=0

в₂+в₁₂*х₁+2в₂₂*х₂=0 (5.65)

Решение полученной системы уравнений дает координаты центра поверхности х_1s и х_2s:

х_1s=(в₂*в₁₂-2в₁*в2₂)/(4в₁₁*в₂₂-в₁₂²);

х_2s=(в₁*в₁₂-2в₂*в₁₁)/(4в₁₁*в₂₂-в₁₂²).

Подставив х_1s и х_2s в уравнение регрессии (5.63), получим значение у_s – параметра оптимизации в центре поверхности.

2. перенесем начало координат в точку S(х_1s, х_2s, у_s).

При этом старые координаты связаны с новыми х'₁, х'_2, у' соотношениями:

х₁=х_1s+х'₁; х₂=х_2s+х'₂; у=у_s+у'.

Подставив полученные соотношения в уравнение (12.1) и проведя алгебраические преобразования, получим следующее уравнение:

Ŷ - у_s=в₁₁(х'₁)²+в₂₂(х'₂)²+в_12,х'₁х'₂

3. На следующем этапе при помощи поворота осей координат освободимся от эффекта взаимодействия. Для этого необходимо повернуть оси координат на такой угол , чтобы ctg2=(в₁₁-в₂₂)/в₁₂.

Тогда получим в новой системе координат Х₁, Х₂, У. Уравнение регрессии в каноническом виде:

Ŷ - у_s=В₁₁*Х²₁+В₂₂*Х²₂

Старые координаты (х_1,, х₂) связаны с новыми (Х₁, Х₂) соотношениями

х₁=(Х₁+х_1s)cos - (Х₂+х_2s)sin

х₂=(Х₁+х_1s)sin + (Х₂+х_2s)cos (5.66)

4. Определение канонических коэффициентов. Для вычисления составляют характеристический детерминант (определитель):

(в₁₁-В) 0,5*в₁₂…………0,5*в_1к

0,5*в₁₂ (в₂₂-В)…………0,5*в_2к (5.67)

0,5*в_к1 0,5*в_к2 (в_кк-В)

В результате решения получаем уравнение:

(в₁₁-В)*(в₂₂-В)-0,5*в₁₂*0,5*в₂₁=0

После преобразований получим уравнение вида:

А*х²+В*х+С=0

Н аходят корни уравнения по формуле:

Получим В₁₁=х₁; В₂₂=х₂

Из аналитической геометрии известно, что поверхности второго порядка классифицируют по их каноническим формам:

1. Все коэффициенты имеют одинаковые знаки. Поверхность - эллиптический параболоид. В центре поверхности максимум при В_ii<0 и минимум – при В_ii>0.

2. Коэффициенты имеют разные знаки. Поверхность – гиперболический параболоид (седло). В центре поверхности – «минимакс».

3. Один из коэффициентов близок к нулю. При этом центр лежит далеко за областью экспериментирования. Поверхность – «возрастающее возвышение» (гребень).

Таким образом определяем вид поверхности отклика. Трудности геометрической интерпретации уравнения регрессии второго порядка возрастают с увеличением количества факторов. При к>3 дать наглядное геометрическое представление функции отклика невозможно. Однако , и в этом случае каноническое преобразование дает хорошие результаты, если последовательно рассматривать изменение двух факторов, считая остальные стабильными. Такой прием позволяет получить серию контурных кривых на плоскости для количества факторов к>3. Однако, объемное изображение функции отклика при к=3 также не дает исследователю особых преимуществ. Поэтому на практике для исследования поверхности и оптимизации выбирают два фактора, наиболее сильно влияющих на процесс, а остальные факторы стабилизируют при этом на центральном уровне. Если полученный результат не удовлетворяет исследователя, то процесс повторяют с другой комбинацией факторов до тех пор, пока не получат желаемый результат.

Лекция 16

а) Методы оптимизации.

б) Решение задач оптимизации в случае поверхности отклика – эллиптический параболоид.

в) Метод движения вдоль канонических осей.

г) Метод «Ридж - анализ».

д) Контрольные вопросы.