- •Содержание Модуль 5
- •5.2 Параметры оптимизации и требования к ним
- •5.3 Факторы и требования к ним
- •5.4 Планы первого порядка
- •5.4.2 Дробный факторный эксперимент (дфэ)
- •5.4.3 Дробные реплики
- •5.4.4 Выбор плана дробного факторного эксперимента
- •5.5 Симплексный метод планирования эксперимента
- •5.6 Интерпретация и принятие решений по результатам математическогомоделирования
- •5.6.1 Интерпретация результатов математического моделирования процессов
- •5.6.2 Принятие решений после построения математической модели процесса
- •5.7 Оптимизация технологических процессов
- •5.7.1 Метод Гаусса-Зейделя
- •Градиентные методы
- •5.7.4 Симплексный метод оптимизации
- •Лекция 14
- •5 .8 Планы второго порядка.
- •5.8.1 Полный факторный эксперимент.
- •5.8.2 Центральные композиционные планы.
- •5.8.3 Ортогональные центральные композиционные планы
- •5.9 Решение задачи оптимизации
- •5.9.1 Исследование поверхности отклика второго порядка
- •5.9.2 Методы оптимизации
- •7 Градиентные методы
- •9 Дробные реплики
- •25 Методы оптимизации
- •34 Полный факторный эксперимент
- •Список использованных источников
5.8.2 Центральные композиционные планы.
Сократить количество опытов можно, если воспользоваться композиционными или последовательными планами, предложенными Боксом и Уилсоном. Ядро таких планов составляет:
при k<5 – ПФЭ планов первого порядка типа 2k;
При k>5 – ДФЭ планов первого порядка типа 2k-1.
Обычно применяют центральные композиционные планы 2-го порядка. Центральными их называют вследствие симметричности относительно центра плана. Композиционными называют потому, что они компонуются путём добавления определённого количества опытов к плану 1-го порядка. Поэтому, если линейное уравнение плохо описывает процесс (уравнение неадекватно),то не нужно ставить все опыты заново, достаточно добавить несколько опытов, т. е. достроить план до планов 2-го порядка.
Порядок достройки плана:
1) к точкам ПФЭ плана 1-го порядка добавляют 2k звёздных точек, расположенных на координатных осях факторного пространства на одинаковых расстояниях от центра плана. Величину называют звёздным плечом.
Для разных вариантов планов звёздное плечо имеет разные значения;
2) к точкам ПФЭ плана 1-го порядка добавляют один или несколько параллельных опытов в центре плана.
Общее количество опытов в матрице при k факторах составляет:
При k<5
(5.44)
При k>5
(5.45)
где n0 - количество опытов в центре плана.
Построение матрицы композиционного плана 2-го порядка рассмотрим на примере двухфакторной математической модели (k=2)
n=22+2*2+1=9
Значениями факторов в кодированном виде будут координаты вершин области факторного пространства и координаты звёздных точек. Величина звёздного плеча и количество опытов в центре плана n0 зависят от выбранного плана.
Матрица планирования экспериментов представлена в таблице5.8.
Уравнение, соответствующее этой матрице:
Y=b0+b1x1+b2x2+b12x1x2+b11x12+b22x22 (5.46)
Таблица 5.8 – Матрица планирования экспериментов
n |
X0 |
X1 |
X2 |
X1X2 |
X1^2 |
X2^2 |
Y1 |
Y2 |
1 2 3 4 |
+1 +1 +1 +1 |
-1 +1 -1 +1 |
+1 +1 -1 -1 |
-1 +1 +1 -1 |
+1 +1 +1 +1 |
+1 +1 +1 +1 |
|
|
5 6 7 8 |
+1 +1 +1 +1 |
+ - 0 0 |
0 0 + - |
0 0 0 0 |
^2 ^2 0 0 |
0 0 ^2 ^2 |
|
|
9 |
+1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
Применение композиционных планов позволяет сократить количество опытов в матрице. Так, для k=3 количество опытов в ПФЭ равен 27, а в композиционных планах n=15.
Недостатком этих планов является нарушение ортогональности между столбцами xi2 и между столбцами x0 и xi2. Это приводит к тому, что соответствующие коэффициенты уравнения закоррелированы и после исключения незначимых коэффициентов оставшиеся необходимо пересчитывать заново.
На практике применяются ортогональные, центральные композиционные планы.