- •«Математические методы моделирования физических процессов»
- •Введение
- •Условные математические обозначения
- •Метод математического моделирования. Понятие математической модели
- •Понятие мм
- •1.2. Требования к мм
- •1.3. Классификация мм
- •1.4. Информационное представление объекта
- •1.5. Методика построения математической модели
- •2. Математические модели на микроуровне
- •2.1. Общая характеристика микромоделей
- •2.2. Подходы к решению микромоделей
- •2.3. Метод конечных разностей (мкр)
- •2.3.1. Методы конечных разностей для численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем.
- •2.3.2. Методы конечных разностей для численного решение дифференциальных уравнений с частными производными
- •2.3.2.1. Дифференциальные уравнения с частными производными и начальными условиями (задачи Коши)
- •2.3.2.2. Дифференциальные уравнения с частными производными и краевыми условиями (краевые задачи)
- •2.4. Метод конечных элементов (мкэ)
- •3. Математические модели на макроуровне
- •3.1. Общая характеристика макромоделей
- •3.2. Способы отражения структурных свойств объектов
- •3.3. Получение топологического описания на примере моделирования теплообменных комплексов
- •3.4. Решение задачи расчета стационарных режимов
- •4. Математические модели на метауровне. Общая схема преобразования моделей
- •4.1. Метамодели объектов теории автоматического управления
- •4.2. Метамодели объектов теории массового обслуживания
- •4.3. Моделирование на мета уровне на примере расчета устойчивости системы автоматического управления теплообменника
- •Общая схема преобразования мм
- •5. Решение систем алгебраических уравнений
- •6. Интерполяция и аппроксимация данных
- •7. Многовариантный анализ
- •Библиографический список
- •Содержание
4.3. Моделирование на мета уровне на примере расчета устойчивости системы автоматического управления теплообменника
В системах теплоснабжения используются теплообменники, которые представляют собой пароводяные бойлерные установки, предназначенные для передачи тепла от пара к воде и поддержания необходимой температуры горячей воды. Поддерживать постоянную температуру воды можно путем изменения расхода пара, подаваемого в бойлер. Для этого на паропроводе устанавливают регулирующий клапан, а на трубопроводе нагреваемой воды – датчик терморегулятор, который воздействуют на исполнительный механизм регулирующего клапана (рис. 17а).
а) б)
Рис. 17. Функциональная схема и схема регулирования
бойлерной установки
В пароводяной бойлерной установке вода нагревается насыщенным водяным паром (расход ) до температуры . Расход воды, проходящей через бойлерную установку, равен , его температура на воде составляет , а удельная теплоемкость .
При температуре воды, выходящей из бойлера выше 60 С, терморегулятор воздействует на исполнительный механизм регулирующего клапана, который постепенно закрывается, уменьшая подачу пара в бойлер, при понижении температуры воды клапан открывается. Функциональная схема регулирования температуры бойлерной установки представлена на рис. 17б.
Бойлерная установка, в которой производится регулирование, является объектом регулирования (ОР). Регулятор состоит из датчика (Д) температуры, сопротивления типового вторичного прибора (ТВП), служащего для преобразования и усиления сигнала датчика, исполнительного механизма-гидравлического поршневого устройства (ИМ) и регулирующего органа-клапана (РО). Элемент сравнения, конструктивно входящий в регулятор, описывается алгебраическим уравнением
,
где – ошибка системы, х – сигнал, устанавливающий заданное значение температуры воды, y – фактическое значение температуры воды.
Если в элементе сравнения сигналы х и y равны, то это означает, что расход пара бойлерной установки не изменяется, если же сигналы х и y не равны, то расход пара изменяется.
Согласно схеме регулирования (рис. 17б), в рассматриваемой системе можно выделить следующие элементы с передаточными функциями:
1) объект регулирования – бойлерная установка (ОР)
; (72)
2) чувствительный элемент – термометр сопротивления (Д)
; (73)
3) типовой вторичный прибор (ТВП)
; (74)
4) гидравлический исполнительный механизм
; (75)
5) регулируемый клапан
. (76)
Передаточная функция замкнутой системы регулирования температуры бойлерной установки имеет вид
, (77)
где – коэффициент усиления регулятора ; ; ; ; – масса теплопередающих стенок; – суммарная поверхность стенок м2.
Передающая функция бойлерной установки (77) получена при следующих допущениях: бойлер обладает сосредоточенными параметрами, т.е. температура воды в бойлере постоянна во всех точках объема; температура теплопередающих стенок одинакова во всех точках, их термическое сопротивление пренебрежимо мало; коэффициент теплоотдачи между жидкостью и поверхностью металлических стенок, а также удельные теплоёмкости воды и материала стенок постоянны во времени; насыщенный водяной пар при прохождении через бойлер полностью конденсируется, отдаёт тепло фазового перехода и выводится в виде конденсата при той же температуре; тепло, выделяющееся при конденсации пара, расходуется на изменение температуры теплопередающих стенок и нагревание воды. Знаменатель передаточной функции (77) характеризует внутренние динамические свойства системы регулирования и отражает её поведение в свободном состоянии. Полином знаменателя называют характеристическим. Характеристический полином , приравненный нулю, представляет характеристическое уравнение системы, которое имеет вид .
Характеристические полиномы и уравнения являются исходным материалом для исследования систем на устойчивость. Наиболее предпочтительным с учетом использования ЭВМ является метод Рауса [3], который состоит в следующем:
Пусть задано характеристическое уравнение системы
Составляется таблица Рауса
|
|
|
|
|
Для любого из коэффициентов таблицы Рауса () можно записать
, где .
Причем коэффициентам характеристического полинома с отрицательными индексами (таких коэффициентов может появиться три - , , при четной степени полинома) соответствуют нулевые значения.
Для того, чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты первого столбца таблицы Рауса были положительны, т.е. , , , .
Если это условие не выполняется то еще одним необходимым условием устойчивости является положительность всех коэффициентов полинома, т.е. , i=0,1,…,n (тогда коэффициентам характеристического полинома с отрицательными индексами будет присваиваться не нулевое значение а малое положительное, например 10-10).