4. Математические модели на метауровне. Общая схема преобразования моделей

На метауровне моделируют в основном физические процессы двух категорий технических объектов: объектов, являющиеся предметом исследований теории автоматического управления, и объектов, являющиеся предметом теории массового обслуживания. Для первой категории объектов возможно использование математического аппарата макроуровня, для второй категории объектов используют методы событийного моделирования.

4.1. Метамодели объектов теории автоматического управления

В основе функционального моделирования объектов теории автоматического управления лежит ряд упрощающих допущений:

– как и на макроуровне объект представляется в виде совокупности элементов, связанных между собой большим числом связей, которые разделяют на входы и выходы;

– элементы считаются однонаправленными, т.е. сигналы идут только от входа к выходу, а наоборот – нет (сигналами считаются изменения фазовых переменных).

Тогда метамодель может быть представлена в виде

, (70)

,

где – векторы входных и выходных фазовых переменных (входных и выходных сигналов); V – вектор переменных состояния; A,B,C,D – матрицы констант.

Допущение о линейности системы позволяет перейти от оригиналов V(t) к изображениям V(p). Тогда, согласно преобразованию Лапласа, для формулы (34) можно записать:

, (71)

,

где – передаточная функция объекта.

Допущения о независимости состояния любого выхода объекта от нагрузки (количества и вида элементов, подключенных к нему), а также о характеристике любой связи при помощи только одной фазовой переменной позволяет представлять передаточную функцию сложного объекта в виде аналитической зависимости через передаточные функции составляющих его элементов. Например, для последовательного соединения двух элементов можно записать: , т.е. .

Таким образом, метамодели для объектов теории автоматического управления представляют собой системы ОДУ, получаемые непосредственным объединением ММ элементов. Численные методы решения макро- и мета-ММ аналогичны.

4.2. Метамодели объектов теории массового обслуживания

Метамодели объектов теории массового обслуживания предназначены для исследования объектов по обслуживанию заявок, поступающих в систему массового обслуживания (СМО) нерегулярно. СМО состоит из ресурсов (аппараты обслуживания) и транзактов (заявки на обслуживание).

Примерами СМО могут служить цеха или производственные участки, где аппараты – рабочие места и единицы оборудования, заявки – отдельные детали или партии. Также в качестве СМО могут быть представлены отдельные виды оборудования, например теплообменники, где ресурсы – это различные области теплообменников, а заявки – отдельные порции теплообменивающихся сред.

Модели СМО должны описывать процессы прохождения заявок через СМО. Состояние СМО выражается совокупностью переменных, имеющих преимущественно дискретный характер. Например, состояние аппарата характеризуется дискретной переменной V, которая может иметь значения 1 – аппарат свободен или 0 – аппарат занят. К другим переменным относятся длина очереди, тип очереди и т.д. Результат анализа выражается при помощи следующих характеристик: производительность СМО; среднее и максимальное время обслуживания заявок; средняя длина очереди; коэффициенты загрузки аппаратов; вероятность обслуживания заявок за заданное время.

ММ СМО могут быть аналитическими (совокупности явных зависимостей выходных параметров от внутренних и внешних) и имитационными (алгоритмы, описывающие изменения переменных состояния при моделировании с использованием генератора случайных чисел, накоплением и обработкой статистики).