3. Математические модели на макроуровне
3.1. Общая характеристика макромоделей
Математической моделью технического объекта на макроуровне является система ОДУ с заданными начальными условиями, описывающая процессы в непрерывном времени (или вдоль одной из координат), а также в силу сложности рассматриваемых объектов их структурные свойства.
Независимые переменные: t или одна из координат.
Уравнения: обыкновенные дифференциальные (ОДУ).
Результат: средние выходные значения фазовых переменных.
В основе макро-ММ лежат компонентные уравнения отдельных элементов и топологические уравнения, вид которых определяется связями между элементами.
Компонентные уравнения – отражают связи различных фазовых переменных внутри 1-го элемента объекта. Компонентные уравнения используются для описания физических процессов. Например, уравнение теплопроводности с учетом изменения фазовой переменной Т только вдоль одной оси х (ребра, расположенного на трубе) можно записать в виде
.
(63)
Топологические уравнения отражают связи однотипных фазовых переменных между различными элементами объекта. Топологические уравнения служат для отражения структурных свойств объектов. Примерами топологических уравнений могут служить уравнения равновесия и неразрывности для гидравлической и тепловой систем (табл. 1).
Таблица 1
-
№
п/п
Подсистема
Уравнение равновесия
Уравнение неразрывности
1
Гидравлическая
2
Тепловая
Примечание:
– расход среды (тепловой поток) в k-м
узле контура;
– давление (температура) в j-м
участке (ветви) контура.
При получении ММ сложного технического объекта, объединяющего тепловую, гидравлическую и другие подсистемы, необходимо:
1) выделить в объекте однородную физическую подсистему (механическую, гидравлическую, тепловую);
2) получить эквивалентную схему для выделенной подсистемы;
3) установить связи между подсистемами
4) получить ММ системы в целом.
Таким образом, макро-ММ объекта, содержащего α элементов, γ из которых реактивные (способные накапливать энергию) можно представить в следующем виде
– α
– компонентных уравнений;
(64)
– α
– топологических уравнений;
– γ
формул интегрирования,
где V={H,W}, V – вектор фазовых переменных (переменных состояния); H – вектор из γ фазовых переменных, непосредственно характеризующих запасы энергии в системе; W – остальные фазовые переменные (2α-γ); Z – вектор из γ производных переменных состояния по времени, фазовых.
Система из 2α+γ уравнений для 2α+γ неизвестных, т.е. система замкнута.