10) Условие пластичности

Нахождение напряжённого состояния в определённой точке тела без учёта свойств этого тела не позволяет судить о наличии или отсутствии пластической деформации, поскольку при этом не учитываются механические свойства этого тела.

Учитывать свойства материала деформируемого тела можно с помощью физических уравнений, а также уравнений пластичности, которые определяют условие перехода тела из упругого состояния в пластическое.

Например, при линейном напряжённом состоянии в условиях равномерного растяжения тонкого длинного стержня пластическое состояние наступает тогда, когда растягивающее напряжение достигает величины, равной пределу текучести деформированного тела.

1= т

При объёмном напряжённом состоянии начало пластического течения будет при определённом соотношении между главными нормальными напряжениями и пределом текучести материала.

Гипотеза Сен-Венана. Согласно этой гипотезе пластическая деформация наступает тогда, когда одно из главных касательных напряжений достигнет половины предела текучести независимо от схемы напряжённого состояния.

; ; ; ; ; ;

Это условие учитывает влияние только двух главных напряжений.

Тубер, Мизес, Генни сформулировали другое условие пластичности, которое трактуется: пластические деформации начинаются тогда, когда потенциальная энергия упругого изменения достигает определённой величины. Эти величины зависят от вида напряжённого состояния.

Потенциальная энергия деформации выражается:

- потенциальная энергия упругого изменения объёма

- потенциальная энергия упругого изменения формы

; ; ; ;

Подставив 3,4,5,6 в уравнение 2 и учитывая закон Гука:

При линейном напряжённом состоянии:

С другой стороны пластическая деформация при линейном напряжении наступает когда .

С учётом равенства формул 8 и 9 можно записать:

Уравнение (10) может быть записано и для главных :

Также уравнение (10) может быть записано и в произвольных осях:

Через предел текучести можно выразить и актаэдер :

, т. е. это max величина, которой может достигнуть главные касательные напряжения или пластич. деф. 2K – вынужденный предел текучести. Все уравнения пластичности пригодны лишь для идеально плоских сред, т. е. сред не упрочнимых в процессе деф.

В то же время реальные Ме и сплавы изменяют свои механические св-ва в процессе деформации, особенно при холодной деформации происходит упрочнение Ме, т. е. наклёп.

Учёт этого в уравнении (10) сводится к тому, что вместо , которые являются величиной постоянной для данного Ме или сплава использ. . Это напряжение текучести и является величиной переменной. Тогда уравнение (10):

11) Частные выражения условия пластичности

Эти выражения пишутся для частных случаев напряжённого и деформированного состояния и конкретно для: 1) плоского напряжённого состояния; 2) плоского деформированного состояния; 3) для случая равенства двух каких либо напряжение.

1)В случае плоского напряжённого состояния у нас одно из трёх напряжений будет равно 0, допусти ₂ = 0, подставим значение ₂ в уравнение пластичности:

₁² +₃² + (₁-₃)² = 2_т²

₁² +₃² + ₁² - 2₁₃ + ₃² = 2_т²

2₁² +₃² - 2₁₃ = 2_т²

₁² +₃² - ₁₃ = 2_т²

В этом случае имеет место чистый сдвиг.

₁ = - ₃

₁ = (1/√3) _{* т} = К

₁ = ₃

₁ = √2 _{* т}