3.3 Алгебра комплексных чисел

Комплексным числом называют пару чисел, изображающих вектор на комплексной плоскости. Будем изображать комплексное число заглавной буквой с чертой внизу (). Вводится мнимая единица:

Комплексное число может быть представлено в разных формах:

– показательная форма: - это вектор на комплексной плоскости, где - длина (модуль) вектора, - аргумент или фаза. Фазу всегда отсчитывают против часовой стрелки от положительного направления вещественной оси;

– алгебраическая форма: – это точка на комплексной плоскости, где - координаты по вещественной и мнимой осям, причем:

, ,

, если ,

=

, если <.

Переход от одной формы записи комплексного числа к другой:

.

Складывать комплексные числа предпочтительно в алгебраической форме либо геометрически по правилу параллелограмма:

Вычитать комплексные числа удобно в алгебраической форме либо геометрически по правилу параллелограмма (вектор разности направлен из конца вычитаемого в конец уменьшаемого):

Умножать и делить комплексные числа удобнее в показательной форме:

; .

Комплексные числа, не зависящие от времени, обозначают заглавными буквами с чертой внизу: , а комплексно сопряженные им числа обозначают еще и звездочкой сверху: это числа, у которых та же вещественная часть, а мнимая с обратным знаком.

Комплексные числа, которые являются функциями времени, обозначают заглавными буквами с точкой сверху: , а комплексно сопряженные им числа обозначают заглавными буквами со звездочкой сверху : это числа, у которых тот же модуль, но фаза с обратным знаком.

Так как , то умножить комплексное число на j это значит, не изменяя его модуля, увеличить фазу на 90⁰ или повернуть соответствующий вектор на 90⁰ против часовой стрелки. Разделить на j - наоборот:

.

3.4 Символический метод

Пусть есть комплексное число с линейно изменяющимся во времени аргументом: . На комплексной плоскости это число представляет неизменный по длине вектор, вращающийся против часовой стрелки с постоянной скоростью .

Любую синусоидальную функцию времени можно представить в виде проекции на вещественную или мнимую ось соответствующего вращающегося вектора.

Проекция вектора на мнимую ось дает синусоидально изменяющуюся функцию времени:

Вводят специальное обозначение (символы):

- комплекс амплитудного значения тока или

- комплекс амплитудного значения напряжения. Они содержат информацию об амплитуде и начальной фазе синусоидального колебания.

Комплекс амплитудного значения деленный на, дает комплекс действующего значения:

и .

Комплекс амплитудного или комплекс действующего значения позволяют перейти к мгновенному значению, например:

;

.

3.5 Законы цепей в символической форме

1. Первый закон Кирхгофа

Алгебраическая сумма мгновенных значений токов ветвей, сходящихся в одном узле, равна нулю..

Подставим вместо каждого мгновенного значения тока его представление в виде комплекса амплитудного значения, тогда .

Так как в любой момент времени нулю равна сумма проекций вращающихся векторов, следовательно, нулю должна равняться сумма самих вращающихся векторов, т.е. получим . Так как , то сократим на нее и получим .

Алгебраическая сумма комплексов амплитудных значений токов ветвей, сходящихся в одном узле, равна нулю.

Поделив на , получим первый закон Кирхгофа для комплексов действующих значений.

2. Второй закон Кирхгофа

После аналогичных преобразований получим:

или .

Алгебраическая сумма комплексов амплитудных (действующих) значений напряжений на всех элементах контура, кроме ЭДС равна алгебраической сумме комплексов амплитудных (действующих) значений ЭДС этого же контура.

Однако для самих амплитудных и действующих значений законы Кирхгофа не выполняются.