2. Математические модели компонентов

1. Математические модели пассивных компонентов

Резистор

Математическая модель резистора (рис. 2.1) описывается законом Ома:

U_R=IR, или I=gU_R, где g=1/R.

В первом случае задано падение напряжения U_R на резисторе, а искомая величина – ток I через резистор. Во втором случае задан ток I через резистор, а искомая величина – это U_R на резисторе.

Параметры математической модели:

• номинальное значение сопротивления R_Н;

• допуск на сопротивление R;

• температурный коэффициент ТКR.

Допуск R является границей отклонений сопротивления от номинального значения, возникающих в процессе изготовления резисторов:

при этом сопротивления резисторов в процессе их производства могут принимать значения:

Если значение сопротивления R меньше номинального R_H , то относительное отклонение R/ R_H  0, в противном случае R/ R_H  0.

Обычно допуск R задается в процентах.

Температурный коэффициент ТКR задает значение сопротивления для текущего значения температуры Т:

,

где Т_Н – номинальное значение температуры, принимаемое равным 27⁰ С.

Таким образом, TKR равен относительному отклонению сопротивления от номинального значения при изменении температуры на 1⁰ С. Иногда TKR задается в propromil (ppm):

TKR_ppm= TKR  10⁶.

Конденсатор

Математическая модель конденсатора (рис. 2.2) записывается в виде:

или

В первом случае заданной величиной является падение напряжения U_C(t) на конденсаторе, а искомой – ток через конденсатор I(). Во втором случае заданной величиной является ток через конденсатор I(t), а искомой – падение напряжения U_C(t).

Параметры математической модели:

• номинальное значение емкости C_H;

• допуск на емкость С;

• температурный коэффициент TKC.

Понятие о допуске и температурном коэффициенте были даны при описании модели резистора.

Катушка индуктивности

Катушка индуктивности (рис. 2.3) описывается двумя математическими моделями:

или

Параметрами математической модели являются L_H, L, TKL, содержание которых аналогично рассмотренным для резистора и конденсатора.

Реальные модели резистора, конденсатора, индуктивности сложнее, чем рассмотренные здесь.

Так, в модели резистора и конденсатора надо учесть индуктивность выводов, что может быть сделано последовательным включением индуктивности вывода с резистором и конденсатором. Кроме того, в конденсаторе имеются потери, задаваемые величиной tg . Влияние этих потерь учитывается включением параллельно к конденсатору сопротивления потерь. Наконец, в катушке индуктивности также имеются потери, задаваемые величиной добротности Q. Учет этих потерь производится включением резистора потерь последовательно с катушкой. Наличие паразитной межвитковой ёмкости учитывается включением суммарной паразитной ёмкости параллельно катушке.

Таким образом, модели даже простейших компонентов могут быть достаточно сложными, если требуется высокая степень адекватности параметров физического объекта и его математической модели.

Двухобмоточный трансформатор

Трансформатор (рис. 2.4) может быть представлен в виде следующей математической модели:

где L₁, L₂ – индуктивности обмоток,

М₁₂ – взаимоиндуктивность.

Параметрами модели являются значения L₁, L₂ и коэффициента связи

Значение К_СВ лежит в пределах от нуля до единицы. Значение К_СВ=1 говорит о наличии жесткой связи между обмотками, что характерно для согласующих и силовых трансформаторов и для выходных трансформаторов усилителей. Значение К_СВ<1 говорит о наличии в трансформаторе индуктивности рассеяния, что приводит к уменьшению коэффициента передачи на высоких частотах. Такие трансформаторы используются в резонансных контурах фильтров.

Иногда в качестве параметров задаются:

• значение индуктивности L₁;

• коэффициент связи К_СВ;

• коэффициент трансформации

Кроме перечисленных параметров нужно указать способ включения обмоток - согласный или встречный.