35.Вычисление объемовтелпоплощадямпоперечныхсечений и объемовтел
вращения.
Вычисление объёма тела по площадям поперечных сечений.
Пусть
тело 
расположено
в пространстве между плоскостями 
и 
,
и для 
известна
площадь его поперечного сечения 
.
Требуется определить объём этого тела.
Рассечём
это тело плоскостями 
на 
слоёв
(
),
на каждом из отрезков 
возьмём
произвольную точку 
;
будем считать, что объём слоя, заключенного
между плоскостями 
и 
приближённо
равен объёму 
цилиндрика
с площадью основания 
и
высотой 
: 
.
Сумма объёмов 
-
объём ступенчатой фигуры - при 
стремится
к искомому объёму 
,
поэтому 
.
Объём
тела, получающегося при вращении кривой
вокруг координатной оси. Если
объём 
получается
в результате вращения кривой 
, 
,
вокруг оси 
,
то, очевидно, 
,
поэтому 
.
Пример:
найти объём эллипсоида, получающегося
при вращении эллипса 
вокруг
оси 
.
Решение:
эту задачу проще решить, если применить
параметрические уравнения эллипса: 
.
Верхняя дуга эллипса получается при
изменении 
от
0 до 
,
при этом точке крайней левой точке
эллипса соответствует значение
параметра 
,
равное 
,
крайней правой точке соответствует
значение 
.
Формула 
для
кривой, заданной параметрически, примет
вид 
,
поэтому 
.
Объём
тела, получающийся при вращении сектора,
ограниченного кривой 
и
двумя полярными радиусами 
и 
,
вокруг полярной оси находится по
формуле 
.
Пример: найти объём тора, полученного
вращением окружности 
вокруг
полярной оси.
Решение: 
.
Если требуется найти объём тела, которой
получается при вращении плоской
фигуры 
вокруг
оси 
,
рассуждаем по другому. Разбиваем тело
на полые цилиндры радиуса 
,
толщины 
,
высоты 
.
Объём этого цилиндра равен произведению
длины окружности 
на
толщину 
и
высоты 
;
суммируя эти объёмы и переходя к пределу
при 
,
получим 
.
Обычно
удобно задавать поверхности параметрическими
уравнениями 
(4),
где 
(
-
некоторая плоская область).
При
этом мы считаем, что уравнения (4) задают
взаимно-однозначное соответствие между
точками поверхности и точками 
.
Кроме
того, мы считаем, что функции 
непрерывны
в 
(при
выполнении этих условий мы будем
говорить: 
-
непрерывно дифференцируемые функции
от 
)
и что в любой точке из 
ранг
матрицы 
равен
2. Это означает, что в любой точке 
хотя
бы один из миноров этой матрицы не равен
0. Пусть, например, 
.
Тогда по теореме о системе неявных
функций (см. 2-й семестр) в некоторой
окрестности уравнения 
можно
решить и получить выражение 
через 
,
т.е. 
.
Тогда третье уравнение в окрестности
рассматриваемой точки даст 
,
т.е. мы получаем явное уравнение вида
(1).
(Если 
,
то имеем, по аналогии, 
,
а если 
,
то 
).
Вычислить:
а) площадь фигуры, ограниченной
гиперболой 
,
осью ОХ и прямыми 
и 
;
б) длину дуги одного оборота спирали
Архимеда 
;
в) объем тела, образованного вращением
вокруг оси 
фигуры,
ограниченной полуэллипсом 
,
параболой 
и
осью 
.
36.Функции двухпеременных. Передел и непрерывность.Частныепроизводные, их
геометрическаяинтерпретация.
Пусть задано множество D упорядоченных пар чисел (х;у). Соответствие ƒ, которое каждой паре чисел (х; у) є D сопоставляет одно и только одно число z є R, называетсяфункцией двух переменных, определенной на множестве D со значениями в Е, и записывается в виде z = ƒ(х;у) или ƒ : D → R При этом х и у называются независимыми переменными (аргументами), а z — зависимой переменной (функцией).
Множество D = D(f) называется областью определения функции. Множество значений, принимаемых z в области определения, называется областью изменения этой функции, обозначается E(f) или Е.
Примером функции двух переменных может служить площадь S прямоугольника со сторонами, длины которых равны х и у: S = ху. Областью определения этой функции является множество {(х;у) | х > 0, у > 0}.
Функцию z = ƒ(х;у), где (х;у) є D можно понимать (рассматривать) как функцию точки М(х;у) координатной плоскости Оху. В частности, областью определения может быть вся плоскость или ее часть, ограниченная некоторыми линиями. Линию, ограничивающую область, называют границей области. Точки области, не лежащие на границе, называются внутренними. Область, состоящая из одних внутренних точек, называется открытой. Область с присоединенной к ней границей называется замкнутой, обозначается D. Примером замкнутой области является круг с окружностью.
Значение функции z = ƒ(х;у) в точке М0(х0;у0) обозначают z0=ƒ(хо;уо) или z0=ƒ(М0) и называют частным значением функции.
Функция
двух независимых переменных допускает
геометрическое истолкование. Каждой
точке М0(х0; у0) области D в
системе координат Oxyz соответствует
точка M(x0;y0;z0), где z0 =
ƒ(хо;уо) — аппликата точки
М. Совокупность всех таких точек
представляет собой некоторую поверхность,
которая и будет геометрически изображать
данную функцию z=ƒ(x;у).
Например,
функция
имеет
областью определения круг х2 +
у2 ≤ 1 и изображается верхней
полусферой с центром в точке O(0;0;0) и
радиусом R = 1 (см. рис. 205).
Функция двух переменных, как и функция одной переменной, может быть задана разными способами: таблицей, аналитически, графиком. Будем пользоваться, как правило, аналитическим способом: когда функция задается с помощью формулы.
Совокупность значений некоторых величин, как правило, лишенных физического содержания, представляет собой некоторые числовые множества. Будем обозначать множества большими буквами латинского алфавита: А,В,..,Х,У. Элементы этих множеств будем обозначать малыми буквами, а тот факт, что какой-то элемент принадлежит некоторому множеству, будем обозначать символом Î (принадлежит): х Î Х,у Î Y. Кроме того, мы будем использовать символы " (любой) и $ (существует).
Если каждому элементу хÎХ поставлен в соответствие единственный элемент у=f(х) Î У, где Х и Y -данные числовые множества, то у называется функцией от х, определенной на множестве Х.
Этот факт записывают так: у=f(х). Х называют множеством определения функции, а множество Y – множеством ее значений.
Можно сказать, что функция f осуществляет отображение множества Х в Y.
Eсли
любой элемент у Î Y является
значением функции f, тo говорят,
что функция f отображает
множество Х на множество 
Пример 1. Функция f(х) = sin х отображает интервал Х = (0,2p) на отрезок [-1,1].
Действительно, изобразим у = sin х в интервале (0,2p). Очевидно, что каждое число из отрезка [-1,1] оси ОY является значением функции у = sin х.
Пусть между элементами множеств X и Y функция y=f(x) устанавливает взаимно однозначное соответствие, то есть "xÎX соответствует один и только один его образ y =f(x) Î Y и обратно, для " y Î Y найдется единственный прообраз x Î X такой, что f(x) = y. Тогда функция x =f--1(y), где y Î Y, устанавливающая соответствие между элементами множеств Y и X, называетсяобратной для функции y = f(x).
Иначе: обратная функция f -1 является отображением множества Y на множество X.
Окрестностью О (а) точки а называется любой интервал a < x < b, окружающий эту точку, из которого, как правило, удалена сама точка а.
Под окрестностью О(¥) символа бесконечность понимается внешность любого отрезка [a,b], то есть О (¥) = (-¥,a) È (b,+ ¥).
б-окрестностью точки а называется интервал (а–б, а+б), не содержащий точку а, то есть О (а, б) = (а- б, а) È (а, а + б).
Пусть функция f(x) определена на множестве X, кроме быть может точки а. Точку а мы будем называть предельной точкой множества X, если в любой б -окрестности точки асодержится бесконечно много точек xÎX, то есть О (а) ÇX ¹ Æ для " О(а).
Число А называется пределом функции f(x) в точке а (или при x®а), если для любого e > 0 cуществует число б (e) > 0 такое, что для любого x Î X, удовлетворяющего условию 0 < ïx – аï <б,следует неравенство ïf (x) – Aï< e.
Учитывая, что все x, удовлетворяющие условию 0 < ïx- аï< б, находятся в б-окрестности точки а, можно несколько иначе сформулировать определение предела.
Говорят, что число А является пределом функции f(x) при x®а, если для "e > 0 существует б-окрестность точки а О (а,б) = íx/ 0< ïx-aï<бý,где б =б (e), такая, что для " x Î O (а, б) выполняется неравенство ïf(x) – Aï < e.
При
этом пишут: 
Утверждение 
эквивалентно
следующему:
ïf(x) – Aï < e при ïx ï > ∆, где ∆ = ∆(e) зависит от e и по смыслу определения является достаточно большим положительным числом.
Множество всех точек x, для которых ïxï > ∆, очевидно является симметричной окрестностью символа ¥.
Пример 2. Доказать,
что 
(2х +1)
= 7.
Решение. Возьмем
произвольное число e
>
0. Покажем, что можно найти
такую 
– окрестность
точки х = 3, что для всех
точек х Î 0 (3,d) будет выполняться
соотношение |(2х+1)-7| < e.
Преобразуем
неравенство |(2х+1)-7| < e так,
чтобы из него получить 
< d. Имеем
< e <=> |2х – 6| < e <=> 2|х – 3| < e <=> |х – 3| < 
. Ясно,
что, взяв d
мы
получим требуемое соотношение:
ïх – 3ï < d=>ï(2х + 1) – 7ï <e.
Сформулируем некоторые свойства пределов.
Теорема. Если
функция f(х) = с
постоянна в некоторой окрестности
точки а, то 
Теорема. Если f(х) имеет
предел при х
а, то
этот предел единствен.
Функция f(х) называется ограниченной на данном множестве Х, если существует такое положительное число М, что |f(х)| £ М при всех х ÎХ.
Если такое число М не существует, то функция f(х) называется неограниченной.
Пример 3. Функция у = sin х ограничена
на всей числовой оси, так как 
.
Функция 
не
ограничена на множестве, содержащем
точку х = 0.
Лемма.
Если функция f(х) имеет
предел А при х
а, то
она ограничена в некоторой окрестности
точки х = а.
Доказательство. Выберем e =
1, что возможно, так как e –
любое положительное число. Имеем 
< 1
при x Î 0
(а, б), что следует из определения
предела функции. Рассмотрим 
.
Очевидно: ïf(x)ï = ïf(x) – A + Aï £ ï f(x) – Aï + ïAï.
Но для x Î O (а,
б) имеем ïf(x) – A ï < 1
и тогда ïf(x)ï <
1 +ïAï для x Î O(а,
б), где М = 1 +ïAï.
Замечание. Обратное утверждение неверно: ограниченная функция может не иметь предела.
Например,
функция f(x) = sin
ограничена
при 0< ïxï < + ¥,
но не имеет предела при x ® 0.
Теорема. Пусть
существует 
и
пусть М < f(x) < N в
некоторой окрестности точки x = a.
Тогда М £ А £ N.
Положительная функция не может иметь отрицательного предела.
Функция f (x), определенная в некоторойокрестноститочки a, называетсянепрерывной в этойточке, если
Пустьфункцияопределена в некоторойокрестноститочки a, бытьможет, заисключениемсамойточки a. Точка a называетсяточкойразрыва, еслиэтафункциялибонеопределена в точке a, либоопределена, нонеявляетсянепрерывной в точке a.
Чащевсегоразрыввозникаетподвумпричинам:
функциязаданаразличнымивыраженияминаразныхучастках, и в граничныхточкахэтивыраженияимеютразличныепределы;
функциянеопределена в даннойточке.
|
|||
|
График 1.3.7.1. Эта функция непрерывна в точке A и разрывна в точке B
Примером разрывной функции может служить функция зависимости плотности воды в окрестности 0 ºC. Примером непрерывной функции является зависимость площади квадрата от длины его стороны. Подчеркнемеще раз, что непрерывность функции рассматривается только на области ее определения.
Если функция непрерывна в каждой точке некоторого промежутка, то она называется непрерывной на этом промежутке. Большинство функций, изучаемых в элементарной математике, непрерывны на всей области определения. Таковыми являются линейная функция y = kx + b, квадратичная y = ax2 + bx + c, показательная и тригонометрические функции.
ﾅ頡・韋 f (x) è g (x) 淲・褞鏆燾糘ⅸ・ x0, 頷・琲・鵰鈔裝褊韃・褊襃粹鏆鶯ⅸ・, 瑶・・淲・褞鏆浯粹裨・頤魵韋, î g (x0) ≠ 0.
Отсюда следует, что рациональные функции непрерывны во всех тех точках, в которых их знаменатель не обращается в нуль.
Из непрерывности функции y = f (x) в точке x0 и функции z = g (y) в точке y = f (x0) следует непрерывность сложной функции g (f (x)) в точке x0.
Функцию f (x) называют непрерывной на отрезке [a; b], если она непрерывна в каждой точке интервала (a; b) и, кроме того, непрерывна справа в точке a и слева в точке b.
37.Дифференцируемые функции двух переменных. Полный дифференциал. Необходимое условие дифференцируемости. Достаточное условие дифференцируемости.
Пусть имеется n+1 переменная x1, x2, ..., xn, y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x1, x2, ...,xn соответствует единственное значение переменной y. Тогда говорят, что задана функция f от n переменных. Число y, поставленное в соответствие набору x1, x2, ..., xn называется значением функции f в точке (x1, x2, ..., xn), что записывается в виде формулы y = f(x1,x2,..., xn) или y =y(x1,x2,..., xn). Переменные x1, x2, ..., xn являются аргументами этой функции, а переменная y ‑ функцией от n переменных. Далее я буду говорить лишь о функции двух переменных. Для функций большего числа переменных все факты, о которых будет идти речь, или аналогичны или сохраняются без всякого изменения. Аргументы функции двух переменных будут обозначаться, как правило, x и y, а значение функции - z. Будем говорить, что задана функция двух переменных, если любой паре чисел (x,y) из некоторого множества D упорядоченных пар чисел поставлено в соответствие единственное число, которое обозначается f(x,y) и называется значением функции f в точке (x,y). Множество D называется областью определения функции. В связи с этим определение. Определение 1. Переменная z называется функцией двух переменных f(x,y), если для любой пары значений (x,y) Î D ставится в соответствие определенное значение переменной z. Поскольку любую пару чисел x,y можно рассматривать как пару координат точки M на плоскости, вместо z=f(x,y) можно писать z=f(M).При этом аргументами функции будут координаты x,y точки M. Числа x,y можно
рассматривать как координаты
вектора Определение 2. График функции двух переменных есть множество точек (x,y,f(x,y)), где (x,y)ÎD. График представляет собой некоторую поверхность. Пример такой поверхности приводится на рисунке 1.
Приращение, которое получает функция Z=f(x,y) при произвольных совместных изменениях ее обоих аргументов называется полным приращением: ΔZ=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y) ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Полным дифференциалом функции двух переменных называется главная часть полного приращения функции, линейная относительно приращений независимых переменных. Теорема. Полный дифференциал функции двух независимых переменных равен сумме произведений частных производных функции на дифференциалы соответствующих независимых переменных. dZ=f'x(x,y)dx+f'y(x,y)dy
или Так
как Определение дифференциала переносится на функции любого числа независимых переменных.
Для того, чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке x0 необходимо и достаточно, чтобы у нее существовала производная в этой точке. При этом Δy = f(x0+Δx)-f(x0) = f '(x0)Δx+α(Δx)Δx, 聿αå(Δx) - 砒・褶濵・・渼, ・Δèx→0. для функции одной переменной существование производной в точке является необходимым и достаточным условием дифференцируемости функции в этой точке. Для функции многих переменных дифференцируемость и существование частных производных не являются эквивалентными свойствами функции.Теорема 6 (необходимое условие дифференцируемости). Если функция дифференцируема в точке , то она имеет в точке частные производные по каждой переменной и . При этом ,, где и – числа из равенства (1). Поэтому условие дифференцируемости (1) можно записать в виде а полный дифференциал функции – в виде Обратная теорема не верна, т.е. существование частных производных не является достаточным условием дифференцируемости функции.
38.Дифференцируемые функции двух переменных. Дифференцирование сложной функции.
Пусть имеется n+1 переменная x1, x2, ..., xn, y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x1, x2, ...,xn соответствует единственное значение переменной y. Тогда говорят, что задана функция f от n переменных. Число y, поставленное в соответствие набору x1, x2, ..., xn называется значением функции f в точке (x1, x2, ..., xn), что записывается в виде формулы y = f(x1,x2,..., xn) или y =y(x1,x2,..., xn). Переменные x1, x2, ..., xn являются аргументами этой функции, а переменная y ‑ функцией от n переменных. Далее я буду говорить лишь о функции двух переменных. Для функций большего числа переменных все факты, о которых будет идти речь, или аналогичны или сохраняются без всякого изменения. Аргументы функции двух переменных будут обозначаться, как правило, x и y, а значение функции - z. Будем говорить, что задана функция двух переменных, если любой паре чисел (x,y) из некоторого множества D упорядоченных пар чисел поставлено в соответствие единственное число, которое обозначается f(x,y) и называется значением функции f в точке (x,y). Множество D называется областью определения функции. В связи с этим определение. Определение 1. Переменная z называется функцией двух переменных f(x,y), если для любой пары значений (x,y) Î D ставится в соответствие определенное значение переменной z. Поскольку любую пару чисел x,y можно рассматривать как пару координат точки M на плоскости, вместо z=f(x,y) можно писать z=f(M).При этом аргументами функции будут координаты x,y точки M. Числа x,y можно
рассматривать как координаты
вектора Определение 2. График функции двух переменных есть множество точек (x,y,f(x,y)), где (x,y)ÎD. График представляет собой некоторую поверхность. Пример такой поверхности приводится на рисунке 1.
Пусть
даны две функции: Например, Эта
«цепочка» может быть достаточно
длинной. Пусть Примеры
сложных функций.
2.2. Производная сложной функции
Если
функция
В
случаи, когда сложная функция состоит
из нескольких «звеньев»
Здесь
2.3. Примеры нахождения производных сложных функций
Для нахождения производных используем формулу (2.1), правила 1.2 и 1.3. 1.
2. Сначала берем производную степени по промежуточному аргументу sinx, затем умножаем на производную синуса по Х:
3. Сначала берем производную внешней функции (косинуса) по промежуточному аргументу (1-2х), затем умножаем на производную от промежуточного аргумента (1-2х) по х:
4.
5.
6.
7. Найдем производную:
8.
9.
10.
11.
12.
|
Она
разрывна в точке x0 = 1,
так как не существует в этой
точке.
, исходящего
из начала координат и с концом в
точкеM(x,y). Тогда функция двух
переменных будет функцией вектора, что
записывается в виде формулы z = f(
), причем
аргументами функции являются координаты
вектора 
.
dx=dxZ
и 
dy=dyZ,
то dZ=dxZ+dyZ, т.е. дифференциал
функции двух независимых переменных
равен сумме ее частных дифференциалов.
, исходящего
из начала координат и с концом в
точкеM(x,y). Тогда функция двух
переменных будет функцией вектора, что
записывается в виде формулы z = f(
), причем
аргументами функции являются координаты
вектора 
.
и 
,
тогда функция 
называется
сложной функцией или функцией от
функции. Функция 
называется
промежуточным аргументом.
, 
,
тогда 
есть
сложная функция, 
–
промежуточный аргумент.
, 
, 
,
тогда рассматривая функцию от функции,
получим сложную функцию 
или 
.
Где 
и 
промежуточные
аргументы.
, 
, 
, 
, 
.
дифференцируема
в точке 
,
а функция 
дифференцируема
в точке 
,
то сложная функция 
дифференцируема
в точке 
,
при этом производная 
равна
произведению производной 
по
промежуточному аргументу 
на
производную 
,
или
.
(2.1)
,
производная находится так:
(2.1а)
промежуточные
аргументы.
Сначала
берем производную функции 
по
промежуточному аргументу 
и
затем умножаем на производную от
функции 
по х.
.
.
.
.
|
|
|
|
39.Частные производные и дифференциалывысшихпорядков. Теорема о
перестановкепорядкадифференцирования (формулировка).
1. Частные производные высших порядков.
Частные
производные функции двух
переменных z=f(x,y) являются
функциями переменных x и y. Поэтому
их снова можно дифференцировать. Так
как каждую функцию zx/ и zy/ можно
дифференцировать по x и y,
то производных второго порядка будет
четыре. Результат дифференцирования 
по xобозначается
через 
,
а результат дифференцирования
по y через 
.
Производная 
обозначает
двукратное дифференцирование
функции z=f(x,y)по y.
Производные второго порядка можно снова дифференцировать по x или по y.
Частная производная n-го порядка, есть первая производная от производной (n-1)-го порядка.
Пример. Вычислить 
,
если z=x3y+ex+2y.
Последовательно находим
В
данном примере сначала дважды
дифференцировали по x потом
по y. В случае, если частные
производные до n-го порядка непрерывны,
можно переставлять порядок дифференцирования
по отдельным аргументам. Например : 
Правила вычисления производных высших порядков функции двух переменных справедливы для функции любого числа аргументов.
Пример. 
, Вычислим 
.
, 
2. Дифференциалы высших порядков
Используя понятие частных производных n – го порядка, можно определить дифференциал n – го порядка функции z=f(x,y) .
Определение. Выражение
(16)
называется дифференциалом n – го порядка функции z=f(x,y) .
1.Предполагается, что функция z=f(x,y) в равенстве (16) имеет непрерывные частные производные до n – го порядка включительно.
2.Выражение
(16) задает функцию от переменных 
При фиксированных 
эта функция является однородной
функцией степени nпеременных 
.
3.Особое значение для приложений имеет дифференциал второго порядка
(17)
4.
Если 
-
независимые переменные, то 
,
поэтому формулу (16) можно записать в
виде
.
Однако
в отличие от дифференциала первого
порядка ни один из дифференциалов 
не
обладает свойством инвариантности.
Теорема. Пусть f(x,y) –
функция, определенная в некоторой 
-
окрестности точки (x,y) и
имеющая непрерывные частные производные
по n- го порядка
включительно. Тогда справедливо равенство
(18)
где 
-
бесконечно малая более высокого порядка,
чем 
при 
.
С
помощью формулы (18) исследуется поведение
разности 
.
Разность разбивается на два слагаемых
.
Зависимость первого из них от 
и 
довольно
простая; она описывается многочленом n –
й степени от переменных
и 
с
коэффициентами, зависящими от 
и 
. Второе
слагаемое представляет собой величину
бесконечно малую более высокого порядка
малости, чем
,
т.е. чем n-я степень
расстояния между точками 
и
,
вследствие чего этим слагаемым во многих
задачах можно пренебречь.
ПЕРЕСТАНОВКА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ — изменениепорядкадифференцирований.
ПЕРЕСТАНОВКА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ — изменение порядка дифференцирований. При перестановке дифференцировании результат дифференцирования не изменится, если смешанные производные непрерывны. Точнее, справедлива теорема о перестановке дифференцирования: Пусть частные производные
функции u=u (х, у) непрерывны в точке х0, у0 и, следовательно,
существуют в некоторой окрестности точки (x0, y0); тогда в этой точке
Немецкий математик Шварц показал, что в этой теореме достаточно предположить, кроме существования
в окрестности точки, непрерывность в точке (x0, y0) лишь одной из смешанных производных
