27.Определенный интегралРимана. Свойстваопределенногоинтеграла.Теорема о среднем.

Если существует предел интегральной суммы при стремлении к нулю длины наибольшего частичного интервала разбиения: , то функция f(x) называется интегрируемой в смысле Римана на интервале [a, b]. Предел этой суммы

называется определенным интегралом от f(x) по интервалу [a, b] в смысле Римана (интеграл Римана). Это определение означает, что для любого положительного числа  существует такое число , что при любом разбиении интервала [a, b] на частичные интервалы, длины которых меньше .

и при любом выборе промежуточных точек  выполняется неравенство

     Функция f(x) называется подынтегральной функцией, а a и b - пределами интегрирования.

Свойстваопределенногоинтеграла:

I. Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е. , где х, t – любые буквы.

II. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю.

III. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на обратный.

IV. Если промежуток интегрирования [a,b] разбит на конечное число частичных промежутков, то определенный интеграл, взятый по промежутке [a,b], равен сумме определенных интегралов, взятых по всем его частичным промежуткам.

V. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.

VI. Определенной интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций.

Следствие(сама интег. Теор.о среднем) : Если функция f(x) непрерывна , а функцияg(x) интегрируема на отрезке  и не меняет знака , то

f(x)g(x)dx=f(c)(27)

В частности , если g(x) = 1 , то

f(x)dx=f(c)(b-a)(28)

○Пусть , M=. По теореме Вейерштрасса

и выполняется равенство (20). Если – число ,определяемое формулой (22), то , и по теореме о промежуточных значениях непрерывной функции получаем

Поэтому формулу (22) можно записать в виде (27).●

Замечания : Если f(x)>0 то равенство (28) означает ,что площадь криволинейной трапеции над отрезком [a,b]равна площади прямоугольника с основанием длины

( b-a ) и высотой , равной значению , равной значению функции f в некоторой точке отрезка [a,b].

28.Определенный интеграл с переменнымверхнимпределом. Теорема о егопроизводной.Существованиепервообразной непрерывной функции.

Определенный интеграл с переменным верхним пределом

Пусть на отрезке [a, b] задана интегрируемая функция . Известно, что определенный интеграл  с геометрической точки зрения численно равен площади криволинейной трапеции.

Будем считать, что нижний предел  закреплен, а верхний предел меняется. Тогда будет меняться и значение интеграла, то есть он будет функцией верхнего предела интегрирования. Зададим любе значение  из отрезка [a, b] и введем в рассмотрение интеграл с переменным верхним пределом:

  (1)

(От обозначения переменной интегрирования под знаком интеграла величина интеграла не зависит).

 

Если , то величина  численно равна площади криволинейной трапеции  (рис. 7).

Очевидно, что эта площадь меняется в зависимости от изменения .

Рассмотрим свойства интеграла 

1. Функция непрерывна на [a, b].

Для доказательства фиксируем любую точку  отрезка и зададим приращение . При этом функция  получит приращение

(свойство 5)=

 

Устремим , тогда  (свойство 2). Это и означает непрерывность функции 

2. Функция  дифференцируема на отрезке [a, b].