44.Определение двойногоинтеграла.

Двойной интеграл в общем виде записывается следующим образом:

Разбираемся в терминах и обозначениях: – значок двойного интеграла;  – область интегрирования (плоская фигура);  – подынтегральная функция двух переменных, часто она довольно простая;  – значки дифференциалов.

Что значит вычислить двойной интеграл?

Вычислить двойной интеграл – это значит найти ЧИСЛО.

Определение:

Двойным интегралом от функции  по ограниченной замкнутой области  называется предел интегральной суммы, построенной для функции  при неограниченном увеличении числа разбиений области  на ячейки () и при стягивание каждой ячейки в точку (), если такой предел существует и не зависит от способа разбиения области  на ячейки, ни от выбора  в каждой из них.

Теорема существования:

Для всякой непрерывной функции  в ограниченной замкнутой области  существует двойной интеграл: 

Свойства двойного интеграла:

3) Если область  разбить линией на две области  и  такие, что , а пересечение  и  состоит лишь из линии, их разделяющей, то :

4) Если в области  имеет место неравенство , то и . Если в области  функции  и  удовлетворяют неравенству, то и

6) Если функция  непрерывна в замкнутой области , площадь которой , то , где  – соответственно наименьшее и наибольшее значения подынтегральной функции в области .

7) Если функция непрерывна в замкнутой области , площадь которой , то в этой области существует такая точка , что . Величину называют средним значением функции в области 

Пример вычисления:

Вычислить  в области , ограниченной кривыми  и .

45.Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат.

Пусть функция 2-х переменных z = f (x, y) задана и непрерывна в замкнутой области xOy. Двойной интеграл от этой функции по области D имеет вид: , где .

Область xOy называется правильной в направлении оси Oy, если всякая прямая, параллельная оси Oy пересекает границу области не более, чем в двух точках (за исключением участков границы, параллельных Oy).

Если область D – правильная в направлении оси Oy (рис. 2), то ее можно задать системой неравенств: 

В этом случае двойной интеграл от функции z = f (x, y) по области D можно вычислить при помощи двукратного (повторного) интеграла:

.

Здесь внутренний интеграл вычисляется по переменной y в предположении, что x – постоянная (x = const); результатом вычисления внутреннего интеграла является некоторая функция Ф (x). Затем вычисляется внешний интеграл от Ф (x) по переменной x в постоянных пределах, в результате получается число.

Пример. Вычислить , если , D:

Если область D – правильная в направлении оси Oх (рис. 3), то она задается системой неравенств:  и тогда двойной интеграл сводится к повторному интегралу по формуле:

.

Здесь внутренний интеграл вычисляется по переменной x в предположении, что y = const; результатом вычисления внутреннего интеграла является некоторая функция от y, которая затем интегрируется в постоянных пределах.

Если область D – правильная в обоих направлениях, то повторный интеграл не зависит от порядка интегрирования, и для вычисления двойного интеграла можно использовать любой из двух порядков интегрирования:

.

 Если область D – неправильная в обоих направлениях, то ее можно разбить на правильные части и воспользоваться свойством аддитивности двойного интеграла:.

Вычисление двойного интеграла в полярных координатах

Пусть область D задается в полярных координатах системой неравенств  Такая область (рис. 4) является правильной в полярной системе координат (каждый луч, выходящий из полюса, пересекает границу области не более, чем в 2-x точках, за исключением участков границы, совпадающих с некоторым полярным лучом).

Преобразование двойного интеграла по области D к полярным координатам осуществляется при помощи формул

:

.

Полученный двойной интеграл в полярных координатах может быть сведен к повторному интегралу при помощи неравенств, задающих область D. В результате получаем формулу перехода от двойного интеграла к повторному интегралу в полярных координатах:

.

Замечание. Для нахождения оригиналов изображений, представленных в виде рациональных дробей, следует разложить эту дробь на простейшие дроби с неопределенными коэффициентами.

Решение дифференциальных уравнений методом операционного исчисления

Пусть дано дифференциальное уравнение:

 (i = 1,2,..,n) – постоянные коэффициенты. Будем искать решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям , после чего найдем изображения правой и левой частей уравнения. Получив вспомогательное уравнение, разрешим его относительно X(p) и найдем оригинал его, то есть x(t).

Пример 4. Решить дифференциальное уравнение

 .

Решение. Полагая

 имеет корни  , то

 .

Разложим X(p) на простейшие дроби:

 .

Подставим в обе части этого тождества p=1. Тогда имеем

 , получим

 . Далее, подставляя найденные A и C в тождество, получим

а  .

46.Вычисление двойногоинтеграла в полярной системекоординат.

Вычисление двойного интеграла в полярных координатах:

Для вычисления двойного интеграла в полярных координатах применяют тоже правило сведения его к двукратному интегралу.

Если область  ограничена лучами  и , где  и кривыми  и , где  , т.е. область  правильная, то:

Пример:

Вычислить  , где область  – круг 

Перейдем из декартовой системы координат в полярную:

Область  в полярной системе координат определяется неравенствами .

Область  – круг, преобразовывается в область  - прямоугольник. Поэтому:

Приложения двойного интеграла:

1)Объем тела:

, где  – уравнение поверхности, ограничивающей тело сверху.

2)Площадь плоской фигуры:

 – в декартовой системе координат

 – в полярной системе координат

3)Масса плоской фигуры:

4)Статические моменты:

 – относительно оси 

 – относительно оси 

5)Момент инерции плоской фигуры

– относительно оси 

– относительно оси 

Пример:

Найти объем тела ограниченного, поверхностями  и .

Данное тело ограничено двумя параболоидами.

Из системы  находим линии пересечения: , .

Искомый объем равен разности объемов двух цилиндрических тел с одним основанием (круг ) и ограниченных сверху соответственно поверхностями и . Тогда:

Перейдем к полярным координатам:

47.Приложения двойногоинтеграла.

См. Выше.

48.Определение тройногоинтеграла.

Пусть в замкнутой кубируемой области V пространства XYZ задана произвольная функция . Разобьем область V на n областей  не имеющих общих внутренних точек. В каждой точке области  возьмем произвольно точку . Значение функции  в точке  умножим на объем  i-й области и сложим такие произведения по всем областям деления. Полученная сумма  называется интегральной суммой для функции  по области V. Для функции можно составить бесчисленное множество интегральных сумм по области V.

Если при стремлении к нулю шага разбиения  области V существует предел интегральных сумм, то этот предел называется тройным интегралом от функции   по области V и обозначается символами:

 или 

При этом  - подынтегральная функция, V – область интегрирования, x, y и z – переменные интегрирования,  - элемент объема.

Таким образом, если этот предел существует.

Из определения следует, что тройной интеграл, так же как и двойной, не зависит от совершаемых при построении интегральных сумм разбиения области V на части и выбора точек на этих частях.

Тройные интегралы являются непосредственным обобщением двойных интегралов на случай трехмерного пространства.

Имеют место следующие достаточные условия существования тройного интеграла.

Теорема 1. Если функция  непрерывна в замкнутой области V, то тройной интеграл  существует.

  Решение задачи о массе области V с помощью тройного интеграла запишется в виде:

где   - плотность распределения массы.

В этом и заключается механический смысл тройного интеграла от неотрицательной функции. Установить геометрический смысл тройного интеграла   для произвольной функции , не выходя за пределы трехмерного пространства, не представляется возможным. В случае, если в области V

то

Таким образом, объем тела V можно вычислять с помощью тройного интеграла по формуле

Перечислим простейшие свойства тройных интегралов от функций, непрерывных в рассматриваемых областях.

1. Тройной интеграл  от обозначения переменных интегрирования не зависит, т.е.

и т.д.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак тройного интеграла:

где k – число.

3. Тройной интеграл от суммы двух функций равен сумме соответствующих интегралов от слагаемых:

4. Если область V разбита на две области V1 и V2, то

Примечание. Свойства 3 и 4 верны для любого фиксированного числа слагаемых.

5. Если в области V

6. Если в области V

то

7. 

8. Теорема о среднем. Если функция  непрерывна в замкнутой области V, то в этой области существует точка , такая, что

где V – объем данной области.

49.Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат.

. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах.

Пусть в замкнутой области V пространства OXYZ задана непрерывная функция f(x,y,z).

Если область V является правильной в направлении оси Оz, то

.                   (1.11)

Если область V является правильной в направлении оси Оу, то

.                 (1.12)

Если область V является правильной в направлении оси Ох, то

.                 (1.13)

 

Пример. Вычислить , если 

Решение. Так как область интегрирования V является правильной относительно оси ОZ (рис. 1.3, а), то по формуле (1.11)

, т. е. задача свелась к вычислению двойного интеграла по области D, которая является проекцией тела V на плоскость ОХУ (рис. 1.3, б).

Двойной интеграл вычисляем по формуле (1.1)

 

 

Ответ: 

   а                                                            б

Рис. 1.3. Поверхность интегрирования V (а) и область интегрирования D (б)