- •26.Интегральная сумма Римана. Определенный интеграл Римана. Интегрируемые
- •Геометрический смысл определенного интеграла
- •27.Определенный интегралРимана. Свойстваопределенногоинтеграла.Теорема о среднем.
- •28.Определенный интеграл с переменнымверхнимпределом. Теорема о егопроизводной.Существованиепервообразной непрерывной функции.
- •Доказательство.
- •Разбиение промежутка интегрирования
- •29.Определенный интеграл с переменнымверхнимпределом. ФормулаНьютона- Лейбница.
- •Доказательство.
- •30.Определенный интеграл Римана. Методы вычисления: интегрирование по частям и замена переменной.
- •Определенные интегралы (интеграл Римана).
- •31.Понятие о несобственныхинтегралах I-города. Интегралывида (a , p 0 ).
- •32.Понятие о несобственныхинтегралах II-города. Интегралывида
- •Несобственные интегралы второго рода
- •Полярная система координат и криволинейный сектор.
- •35.Вычисление объемовтелпоплощадямпоперечныхсечений и объемовтел
- •36.Функции двухпеременных. Передел и непрерывность.Частныепроизводные, их
- •40.Формула Тейлорадляфункциидвухпеременных.
- •41.Экстремумы функциидвухпеременных. Необходимоеусловиесуществования
- •42.Экстремумы функциидвухпеременных. Достаточноеусловиесуществования
- •44.Определение двойногоинтеграла.
- •Что значит вычислить двойной интеграл?
- •50.Вычисление тройногоинтеграла в цилиндрической системекоординат.
- •52.Приложения тройногоинтеграла.
29.Определенный интеграл с переменнымверхнимпределом. ФормулаНьютона- Лейбница.
Пусть на отрезке [a, b] задана интегрируемая функция . Известно, что определенный интеграл с геометрической точки зрения численно равен площади криволинейной трапеции.
Будем считать, что нижний предел закреплен, а верхний предел меняется. Тогда будет меняться и значение интеграла, то есть он будет функцией верхнего предела интегрирования. Зададим любе значение из отрезка [a, b] и введем в рассмотрение интеграл с переменным верхним пределом:
(1)
(От обозначения переменной интегрирования под знаком интеграла величина интеграла не зависит).
Если , то величина численно равна площади криволинейной трапеции (рис. 7).
Очевидно, что эта площадь меняется в зависимости от изменения .
Рассмотрим свойства интеграла
1. Функция непрерывна на [a, b].
Для доказательства фиксируем любую точку отрезка и зададим приращение . При этом функция получит приращение
(свойство 5)=
Устремим , тогда (свойство 2). Это и означает непрерывность функции
2. Функция дифференцируема на отрезке [a, b].
Доказательство.
Применим теорему о среднем (свойство 9. ) к интегралу Получаем, что , где Делим обе части последнего равенства на и переходим к пределу при :
так как при переменная Следовательно, в точке существует производная , причем
Таким образом, доказано важное свойство:
Производная определенного интеграла от непрерывной функции по его верхнему пределу равна подынтегральной функции, вычисленной при верхнем пределе:
= (2)
Замечание. Из доказанного свойства следует, в частности, что всякая непрерывная функция имеет первообразную. Согласно п. 5. 2. для непрерывной на [a, b] функции существует определенный интеграл то есть существует функция Так как то является первообразной для на отрезке [a, b].
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ В ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ.
Пусть требуется вычислить , где функция непрерывна на отрезке [a. b]. Введем новую переменную по формуле. Не приводя доказательства, запишем формулу замены переменных
. (3)
При этом функции и должны быть непрерывны на отрезке [], концы которого и находятся из условий
Замечание.
Отметим, что при вычислении определенного интеграла по формуле (19) не нужно возвращаться к первоначальной переменной , но необходимо пересчитать пределы интегрирования. В некоторых случаях быват удобнее вернуться к переменной и ее пределам интегрирования.
Пример 3. Вычислить
Сделаем замену переменной и определим новые пределы интегрирования при , при
Следовательно
Если функция f (x) интегрируема на [a; b], то для любого существует интеграл
который называется интегралом с переменным верхним пределом.
Если функция f интегрируема на [a; b], то функция F (x) непрерывна на этом отрезке.
Если функция f интегрируема на [a; b] и непрерывна в то функция F (x) дифференцируема в причем
Если функция f непрерывна на [a; b], то на этом отрезке она имеет первообразную F вида
где C – постоянная. Всякая первообразная функции f на отрезке [a; b] удовлетворяет этой формуле.
Одним из основных результатов математического анализа является теорема Ньютона – Лейбница:
Пусть функция f (x) непрерывна на [a; b], а F (x) – какая-либо первообразная функции f на этом отрезке. Тогда
|
Таким образом, для вычисления определенного интеграла нужно найти какую-либо первообразную F функции f, вычислить ее значения в точках a и b и найти разность F (b) – F (a).
Пусть f (x) непрерывна на [a; b], g (t) имеет непрерывную производную на [α; β], Тогда если a = g (α), b = g (β), то справедлива формула замены переменной в определенном интеграле:
Если функции u (x) и v (x) имеют на [a; b] непрерывные производные, то справедлива формула интегрирования по частям: