Andrieiev_Teoretychna_mekhanika_2014

ченням – n2 і n1 відповідно. На рис. 7.2 схеми фігур (зліва направо) відповідають таким відношенням n2 : n1 = 2:1= 2; 3:1 = 3; 4:1 = 4; … . Слід зауважити, якщо відношення є рівним непарному числу, то криві будуть незамкненими, але рухома точка буде повертатися в точку перетину координатних осей, звідки рух починається.

Комп’ютерне моделювання кінематики точки

Для здійснення комп’ютерного моделювання кінематики матеріальної точки, яка здійснює одночасно два гармонічних коливання у двох взаємно ортогональних напрямах, скористаємось можливостями ПК КіДиМ.

Текст файлу вихідних даних

РАБОТА:=№ 1 - Рух по прямій лінії; ВЫПОЛНИЛ:= студент Iванов А.А., гр. I-10б;

#Декартовий закон руху# X=a*sin(n1*t); Y=b*sin(n2*t+fi);

#Проекції та значення швидкості та прискорення#

VX=X’t; VY=Y’t; V=sqrt(VX^2+VY^2);

AX=VX’t; AY=VY’t; A=sqrt(AX^2+AY^2);

# Перехід до натуральних координат #

At=(AX*VX+AY*VY)/V; An=abs(AX*VY-AY*VX)/V;

AN1=sqrt(At^2+An^2);

kr=An/V^2; J.s=1; P.s=At;

VN=s’t; as=s’t’t; an=VN^2*kr;

AN=sqrt(as^2+an^2);

#Вибір інтервалу часу та початкових умов руху # T=2*pi/n1;

НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ:=t(0.001), s(0), s’t(V(0)); КОНЕЧНЫЕ УСЛОВИЯ:=t(T);

ПОКАЗАТЬ:=Y(X), VY(VX), AY(AX), s; СРАВНИТЬ:=r(kr,X,Y), r1(VX,VY), r2(AX,AY,an,An), r3(AX,AY,as,At), r4(A,AN1,AN), r5(V,VN);

a=1; b=1; n1=1; n2=1; fi=0; #a=1; b=1; n1=1; n2=1; fi=-pi;#

РАСЧЕТ:=ПЕЧАТЬ УРАВНЕНИЙ;

РАБОТА:=№ 1.2 - Рух по колу, еліпсу та гiперболi ;

#a=1; b=1; n1=1; n2=1; fi=pi/2;#

211

#a=1; b=0.5; n1=1; n2=1; fi=pi/4;# a=0.5; b=1; n1=1; n2=1; fi=3*pi/4;

#a=1; b=1; n1=1; n2=2; fi=pi/2;# #a=1; b=-1; n1=1; n2=2; fi=pi/2;#

РАСЧЕТ:=ПЕЧАТЬ УРАВНЕНИЙ;

РАБОТА:=№ 1.3 - Рух по незамкненим фiгурам Лiсажу; a=1; b=1; n1=1; n2=3; fi=0;

#a=1; b=1; n1=3; n2=1; fi=0;#

#a=1; b=1; n1=3; n2=5; fi=0;#

РАСЧЕТ:=ПЕЧАТЬ УРАВНЕНИЙ;

РАБОТА:=№ 1.4 -Рух по замкненим фiгурам Лiсажу; a=1; b=1; n1=1; n2=2; fi=0;

#a=1; b=1; n1=1; n2=4; fi=0;#

#a=1; b=1; n1=2; n2=5; fi=0;# #a=1; b=1; n1=4; n2=5; fi=0;#

РАСЧЕТ:=ПЕЧАТЬ УРАВНЕНИЙ;

КОНЕЦ;

Прийняті у тексті файлу позначення можуть бути розшифровані таким чином: V – швидкість руху точки; A – прискорення руху точки; At, An – дотичне та нормальне прискорення; AN1 – прискорення руху точки, яке визначається через прискорення – At,An; kr – кривина траєкторії; s – дугова (натуральна) координата; VN, as, an, AN – швидкість, дотичне, нормальне та повне прискорення руху точки. Усі вони визначаються за формулами (3.1)–(3.8).

7.2. Робота 2. Дослідження руху точки при моделюванні профілювання коліс зубчастих передач

Мета роботи – вивчення закономірностей руху точки, яка розташована на кругу, що котиться без ковзання по нерухомому напрямному кругу.

Об’єкт досліджень – рух точки, яка розташована на кругу радіусу r, що котитьсябезковзанняпонерухомомунапрямномукругурадіусуR.

212

Предмет досліджень – траєкторії, вектори та годографи швидкості й прискорення при русі точки, яка розташована на кругу, що котиться без ковзання по нерухомому напрямному кругу.

Методи досліджень містять аналітичне та комп’ютерне моделювання.

Завдання

1.Дослідити закономірності руху точки, яка розташована на кругу радіусу r, що котиться без ковзання по напрямному кругу радіусу R (при зовнішньому та внутрішньому контакті).

2.За варіюванням геометричних параметрів кругів та відстані точки від центра нерухомого ккруга встановити якісні й кількісні зміни виду її траєкторії, швидкості й прискорення.

Теоретичний матеріал

Зубчаста передача – це механізм із замкненою системою зубів. Деякі форми зубчастих коліс і зубів в евольвентних зубчастих передачах з парою зубчастих коліс наведено на рисунку 7.3. Розглянемо основні типи зубчастих передач.

Багатоступінчасті зубчасті передачі поєднують більш ніж пару зубчастих коліс в різних типах з’єднання.

Планетарні зубчасті передачі містять зубчасті колеса з геометричними осями, що переміщаються. Ці зубчасті колеса, названі планетарними, або сателітами, рухаються подібно до планет Сонячної системи, від чого і отримали свою назву. Зубчасті колеса, з якими зчіплюються сателіти, називаються центральними. Осі сателітів закріплюються в ланці передачі, яка називається водило, яке, так само як і центральне колесо, обертається довкола центральної, або основної, геометричної осі передачі.

Хвильові передачі, в яких одне із зубчастих коліс є гнучким він-

цем.

Відомо, що залежно від взаємного розташування валів, форми зубчастих коліс і форми зубів бувають: циліндричні – прямозубі, косо-

213

При ведучому зубчастому колесі з опуклим профілем зубів лінія зачеплення розташована паралельно полюсній лінії і осям обертання зубчастих коліс за полюсом зачеплення за напрямом обертання ведучого зубчастого колеса. Така передача називається заполюсною. При ведучому зубчастому колесі з увігнутим профілем зубів лінія зачеплення розташовується до полюса зачеплення за напрямом обертання ведучого зубчастого колеса. Така передача називається дополюсною. У передачі з двома лініями зачеплення одна лінія зачеплення розташовується до, а друга – поза полюсом. Ця передача називається дозаполюсною. При ведучій шестерні заполюсна передача значно більш технологічна, ніж дополюсна (діаметр і маса колеса менші, при необхідності можна збільшити діаметр вала шестерні), тому з передач Новікова з однією лінією зачеплення вона найбільш поширена.

Циліндричні та конічні прямозубі передачі працюють зазвичай при невеликих та середніх (3...15 м/с) швидкостях. Циліндричні прямозубі передачі використовують при осьовому переміщенні зубчастих коліс для перемикання швидкостей (коробки передач). Циліндричні та конічні косозубі, із круговими зубами передачі застосовують у відповідальних випадках при середніх та високих ( 15 м/с) швидкостях.

Аналітичне моделювання

Розглянемо рух точки P, розташованої на відстані h від центра кола радіуса r, що котиться без ковзання по напрямному колу радіуса R з кутовою швидкістю , як показано на схемах рис. 7.4. Параметричні рівняння руху в декартових координатах можна записати так:

де R – радіус нерухомого кола; r – радіус кола, що котиться; h – відстань точки від центру кола, що котиться; k = r/R, m = 1 при зовнішньому та m = –1 при внутрішньому торканні.

215

Циклоїда – траєкторія точки А, яка розташована на кругу, що котиться без ковзання по прямій (рис. 7.5). Параметричні рівняння закону руху в декартових координатах можна записати так:

де r – радіус круга, що котиться без ковзання по напрямній прямій (рейці).

Рисунок 7.4 – Розрахункова модель

Рисунок 7.5 – Циклоїда

Епітрохоїда (від грецької – «на та коло») – плоска крива траєкторії точки, що утворюється точкою, жорстко зв’язаною з кругом, який котиться по іншому кругу.

При зовнішньому контакті коліс (m = 1), якщо h = r, то епітрохо-

їда утворює епіциклоїду, також при h > r, отриману фігуру називають подовженою епіциклоїдою, а при h < r – укороченою епіциклоїдою. Власні імена отримали окремі варіанти епітрохоїд: h = r = R – кардіоїда (від грецького – «на вигляд серця») – плоска лінія, яка описується

216

фіксованою точкою круга, що котиться по нерухомому кругу з таким же радіусом, отримала свою назву за схожість своїх контурів із стилізованим зображенням серця, h > r = R (m = 1) – равлик Паскаля та,

якщо h = R + r (m = 1) – роза.

Епіциклоїда (від грецької – «над та коло») – траєкторія точки Р, що розташована на кругу радіусу r = a, що котиться без ковзання по напрямному кругу радіусу R = b (контакт зовнішній).

Рисунок 7.6 – Побудова епіциклоїди

На рисунках 7.6, 7.7, 7.8 показано нерухомий круг радіусу R = a, та криві (епіциклоїди), що окреслюються рухомою точкою, яка розташована на рухомому кругу радіусу r = b.

При внутрішньому контакті коліс (m = –1), якщо h = r, то епіт-

рохоїда утворює гіпоциклоїду.

Гіпоциклоїда (від грецьких слів «під і коло») – плоска крива, що утворюється точкою круга, який котиться усередині іншого круга без ковзання (внутрішнє торкання). На рисунках 7.9, 7.10 і 7.11 зображено нерухомий круг радіусу R = a, та криві, що окреслюється рухомою точкою, яка розташована на рухомому колесі радіусу r = b.

217

Рисунок 7.9 – Побудова гіпоциклоїди

Рисунок 7.10 – Гіпоциклоїди: k = 1/2; k = 1/3; k = 1/4; k = 1/5

Рисунок 7.11 – Гіпоциклоїди: k = 3/5; k= 3/7; k = 3/8; k = 4/9

Зауважимо, якщо k є раціональним значенням, то криві траєкторій замкнені на себе в кругу радіуса R, а якщо ірраціональні, то криві незамкнені на себе.

Комп’ютерне моделювання

Здійснимо комп’ютерне моделювання для дослідження руху точ-

219

ки колеса, що котиться без ковзання по напрямному колесу, при внутрішньому і зовнішньому контакті коліс, як показано на рис. 7.4, та при контакті колеса із рейкою, як показано на рис.7.5.

З метою моделювання об’єднаємо математичні рівняння (7.1) та (7.2), з яких перше – описує рух точки колеса, що котиться без ковзання по напрямному колесу при внутрішньому і зовнішньому контакті коліс, а друге – описує рух колеса вздовж рейки.

Далі введемо параметр – rey зі значеннями: rey = 1, коли розглядаються рівняння (7.2), та rey = 0, коли розглядаються рівняння (7.1). Тоді узагальнений закон руху точки колеса, що рухається без ковзання по напрямним – по колесу чи по прямій рейці, в декартових координатах можна записати так:

x reу[ r rsin ] (1 rey)[(R mkR)cos(k ) mhcos( (1 mk))];

де всі параметри були визначені раніше.

При комп’ютерному моделюванні визначимо для точки рухомого колеса кінематичні характеристики: траєкторії, вектори та годографи швидкості й прискорення при русі точки по траєкторіях, що відповідають епіциклоїді, гіпоциклоїді та циклоїді.

При моделюванні також розглянемо завдання до профілювання коліс у випадку зовнішнього і внутрішнього торкання та до профілювання інструментальної рейки для нарізання зубчастих коліс.

Далі подано текст файлу вихідних даних для ПК КіДиМ, за допомогою якого можна моделювати різні випадки взаємодії рухомих та нерухомих коліс та рейок й досліджувати закономірності у змінах основних кінематичних характеристик.

220