Andrieiev_Teoretychna_mekhanika_2014

Визначимо закон руху матеріальної точки масою m , яка пружинами та демпфером зв’язана з рухомим кріпленням.

Складемо диференціальне рівняння руху точки відповідно до розрахункової схеми (див. рис. 4.10). Слід зауважити, що подібне рівняння може бути складеним як у нерухомій (абсолютній) системі координат (СК), так і у рухомій, пов’язаній із рухомим кріпленням. Розмістимо початок абсолютної системи координат у точці O1 , яка співпадає з положенням матеріальної точки у стані спокою. Початок рухомої системи координат розмістимо у точці O , яка у кожен момент часу співпадає з рухомою матеріальною точкою. Тоді згідно з теорією складного руху точки абсолютна координата s x u , проекція абсолютної швидкості на вертикальну вісь – s x u , проекція абсолютного прискорення на вертикальну вісь: s x u .

Рисунок 4.10 – Розрахункова схема для комп’ютерного моделювання коливань матеріальної точки

Сили пружності та в’язкого опору, які діють на матеріальну точку, у даному випадку залежать від відносної координати x та відносної швидкості x . Поточне подовження пружини дорівнює відносній координаті x s u . Проекція відносної швидкості на вертикальну вісь x s u . Рівняння руху мають такий вигляд:

121

Диференціальні рівняння (4.8) повинні бути доповненими початковими умовами. З урахуванням (4.5) початкові умови набувають вигляду: у відносній СК – x 0 x0 , x 0 v0 ; у абсолютній СК – s 0 x0 U0 , s 0 v0 .

Таким чином, матеріальна точка у даному випадку здійснює вимушені коливання, які зумовлені рухомим кріпленням – це випадок так званого кінематичного збудження. Подальший аналіз проведемо засобами ПК КіДиМ, скориставшись файлом вихідних даних.

Текст файлу

РАБОТА:=№ 4.1.1 Власні коливання;

ВЫПОЛНИЛ:= ст. Іванов П.С., гр.I-17а;

# Запис диференціальних рівнянь коливального руху # u=U0*cos(p*t);

J.x=m; P.x=-mu*x’t-c*x-m*u’t’t;

J.s=m; P.s=-c*(s-u)-mu*(s’t-u’t);

# Вихідні дані, початкові умови, параметри коливань # m=240; c=2400; mu=100; U0=0; p=20;

x0=0; v0=1; tk=10; s0=x0+U0; k=sqrt(c/m); w=sqrt(k^2-h^2); n=mu/(2*m);

# Кінетична, потенціальна, повна енергія, потужність # Ta=1/2*m*(s't)^2; Пa=1/2*c*(s-u)^2; Ea=Ta+Пa; Tr=1/2*m*(x't)^2; Пr=1/2*c*x^2; Er=Tr+Пr;

T0=m*v0^2/2; П0=1/2*c*(s0)^2; E0=T0+П0; dTa = m*s't*s't't; dTr = m*x't*x't't; Na=(- mu*(s't-u't)-c*(s-u))*(s't-u't); Nr=(- mu*x't-c*x-m*u't't)*x't;

# Інструкції до виконання роботи # НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ:= t(0),x(x0),x’t(v0),s(s0),s’t(v0);

122

s0 – початкове відхилення у абсолютній системі координат; v0 – початкова швидкість; k – власна частота коливань; w – кругова частота затухаючих коливань; n – коефіцієнт затухання; Ta, Пa, Ea – кінетична, потенціальна та повна механічна енергія матеріальної точки, які обчислюються через кінематичні характеристики у абсолютній СК:

нціальна та повна механічна енергія матеріальної точки, які обчислю-

нетичної, потенціальної та повної механічної енергії; dTa, dTr – по-

момент часу, до якого відбувається розв’язок (задається або довільно, або залежно від умовного періоду затухаючих коливань).

За допомогою наведеного файлу вихідних даних можна дослідити основні закономірності коливального руху точки у абсолютній та відносній СК, а також встановити основні закономірності у зміні енергетичних характеристик при русі.

Змінюючи значення параметрів системи та початкових умов, можна в результаті одержати рух матеріальної точки відповідно до різноманітних видів розглянутих коливань. Для дослідження власних коливань необхідно задавати «U0=0; mu=0;», для дослідження вільних коливань із в’язким опором (затухаючих коливань) – «U0=0;» (при цьому значення коефіцієнта в’язкості слід задавати не рівним нулеві), для моделювання аперіодичного руху достатньо задати значення коефіцієнта в’язкості таким чином: «mu=2*m*k;» (виходячи з умови рівності між власною частотою та коефіцієнтом затухання), для дослідження вимушених коливань амплітудне значення переміщень кріп-

124

лення U0 не повинне дорівнювати нулеві, для розгляду биттів частота зовнішнього збудження (частота руху закріплення) повинна незначним чином відрізнятись від власної частоти (у розглянутому прикладі задано «p=0.9*k»), для дослідження резонансних коливань достатньо зада-

ти: «p=k».

4.1.3. Завдання для самостійної роботи. Для розрахункових схем, зображених на рисунках в таблиці 4.1 та вихідних даних, наведених у таблицях 4.2–4.3, необхідно зробити перетворення у системах пружних елементів подібно до прикладу, наведеного у п. 4.1.1, та провести дослідження властивостей різних режимів коливань матеріальної точки, використовуючи засоби ПК КіДиМ та опис задачі, наведеної у п. 4.1.2. Аналіз вимушених коливань проводити для випадку, коли кріплення рухається поступально за законом u U0 cos pt .

Необхідно вивчити закономірності руху матеріальної точки та закономірності у змінах її енергетичних характеристик для випадків власних коливань, затухаючих коливань, аперіодичного руху, вимушених коливань, биттів та резонансу.

125

Таблиця 4.1 – Варіанти завдань для аналізу коливань матеріальної точки

126

Продовження табл. 4.1

127

Продовження табл. 4.1

128

Таблиця 4.2 – Параметри коливальної системи

129

Таблиця 4.3 – Початкові умови та параметри кінематичного збудження для аналізу вимушених коливань

130