Квадратурная формула Гаусса

Квадратурная формула Гаусса на первый взгляд похожа на формулу Чебышева

. (2.18)

Только Гаусс для своей формулы предложил другое условие: Квадратурная формула (2.18) точна для всех полиномов максимально возможной степени M.

В формуле (2.18) насчитывается неизвестных -и. Для их единственного определения нам необходимо иметьуравнений.

Если подставить полиномы в формулу (2.18), мы получим недостающиеуравнений:

. (2.19)

Система (2.19) является нелинейной, ее можно решить с помощью полиномов Лежандра. Решение данной системы - коэффициенты иданы в таблице:

n	k	tk	Ak
2	1; 2	0.57735027	1
3	1; 3 2	0.77459667 0	0.55555556 0.88888889
4	1; 4 2; 3	0.86113631 0.33998104	0.34785484 0.65214516
5	1; 5 2; 4 3	0.90617985 0.53846931 0	0.23692688 0.47862868 0.56888889
6	1; 6 2; 5 3; 4	0.93246951 0.66120939 0.23861919	0.17132450 0.36076158 0.46791394
7	1; 7 2; 6 3; 5 4	0.94910791 0.74153119 0.40584515 0	0.12948496 0.27970540 0.38183006 0.41795918
8	1; 8 2; 7 3; 6 4; 5	0.96028986 0.79666648 0.52553242 0.18343464	0.10122854 0.22238104 0.31370664 0.36268378

Для вычисления общего интеграла

применяют замену переменных

.

В результате квадратурная формула Гаусса имеет вид:

(2.20)

где

. (2.21)

Т.о. формула Гаусса является более точной по сравнению с формулой Чебышева и позволяет вычислять точное значение интеграла для полиномов степени (т.е. 15 степени по сравнению с 9 степенью формулы Чебышева).

Методы решения слау Постановка задачи

Пусть дана система nуравнений сnнеизвестными:

. (3.1)

В дальнейшем будем записывать ее в виде

, где ,,. (3.2)

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) делятся на две группы: точные и итерационные.

Под точными методами подразумеваются методы, которые дают решение задачи при помощи конечного числа элементарных арифметических операций.При этом, если исходные данные, определяющие задачу, заданы точно и вычисления производились точно, то решение также получается точным. К сожалению, при работе ЭВМ с вещественными числами возникают ошибки округления, которые снижают точность результатов.

Итерационные методы состоят в том, что решение системы (3.1) находится как предел при последовательных приближений, где- номер итерации.Как правило, за конечное число итераций предел не достигается. Обычно задается некоторое число(погрешность) и вычисления проводятся до тех пор, пока не будет выполнена оценка.

Выбор метода из списка существующих производится в соответствии с

• Размерностью задачи. Прямые методы используют для задач при , при большихприменяют итерационные методы.

• Характером матрицы. Существует несколько типов матриц, таких как симметричные матрицы, положительно определенные матрицы, треугольные матрицы и т.д. В зависимости от типа матрицы задачи используют различные численные методы.

• Объемом памяти и быстродействием ЭВМ. На ЭВМ с большим объемом памяти используют методы, которые требуют много памяти, но и решение задачи получается быстрым. Для ЭВМ с высоким быстродействием применяют методы с большим количеством вычислений, но с меньшими требованиями к размеру оперативной памяти.

К решению систем СЛАУ приводится подавляющее большинство задач вычислительной математики. В настоящее время известно большое количество алгоритмов решения задач линейной алгебры, большинство из которых рассчитано на матрицы специального вида (трехдиагональные, симметричные, большой разряженности и т.д.).

Сопоставление между собой прямых методов проводится обычно по числу арифметических действий, необходимых для получения решения. При прочих равных условиях предпочтение отдается методу с меньшим числом операций. Например, для метода Гаусса требуется порядка действий, а для метода Крамера порядкаопераций.

При применении итерационных методов существенным является не только сходимость итерационного процесса, но и быстрота сходимости. В этом отношении каждый итерационный метод не является универсальным. Давая быструю сходимость для одного типа матриц, он может сходиться медленно или вообще не сходиться для других матриц.

Ниже будут представлены прямые методы - метод Крамера, варианты метода Гаусса и схема Халецкого, и итерационные методы - метод Якоби, Зейделя, верхней релаксации и метод итераций.