- •Численные методы
- •Решение трансцендентных и алгебраических уравнений
- •Постановка задачи
- •Метод половинного деления
- •Метод хорд
- •Метод итераций
- •Метод Ньютона
- •Модифицированный метод Ньютона
- •Метод секущих
- •Интегрирование функций Постановка задачи
- •Формула прямоугольников
- •Алгоритм программы метода прямоугольника
- •Формула трапеций
- •Формула Симпсона
- •Квадратурная формула Чебышева
- •Квадратурная формула Гаусса
- •Методы решения слау Постановка задачи
- •Метод Крамера
- •Метод Гаусса
- •Связь метода Гаусса с lu-факторизацией
- •Вычисление определителя
- •Обращение матрицы
- •Алгоритм схемы Халецкого
- •Вычисление невязки решения
- •Итерационные методы
- •Теорема Самарского о сходимости стационарных методов
- •Метод Якоби
- •Алгоритм метода Якоби
- •Возможные ошибки
- •Теорема сходимости метода Якоби
- •Рекомендации
- •Метод Зейделя
- •Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •Интерполяционная формула Ньютона.
- •Интерполяционные и экстраполяционные формулы при равноотстоящих значениях аргумента.
- •Формула Ньютона для интерполирования вперед и экстраполирования назад
- •Формула Ньютона для интерполирования назад и экстраполирования вперед
- •Интерполяционные формулы Гаусса.
- •Построение кривой по точкам Общие понятия
- •Метод наименьших квадратов
- •Метод линеаризации данных по методу наименьших квадратов.
- •Интерполирование сплайнами Кусочно-линейное и кусочно-квадратичное интерполирование
- •Простейший подход к сглаживанию
- •Кусочно-кубические сплайны
- •Список литературы
Формула прямоугольников
Что такое интеграл? Это предел интегральных сумм. Если взять достаточно мелкое равномерное разбиение отрезка и построить интегральную сумму, то ее можно взять в качестве приближенного значения интеграла.
, (2.3)
где .
Формула (2.3) называется формулой прямоугольников. В зависимости от способа выбора получают различные варианты формулы:
При получаем формулу левых прямоугольников.
При получаем формулу правых прямоугольников.
При получаем формулу средних прямоугольников.
Так, формула левых прямоугольников имеет вид:
. (2.4)
Название формулы прямоугольников связано с ее геометрической интерпретацией: площадь подинтегральной фигуры приблизительно равна сумме площадей прямоугольников (рисунок № 3).
Рисунок 2.
Геометрический смысл метода левых
прямоугольников
, где .
Если на отрезке существует, то для погрешностисуществует оценка:
. (2.5)
Данное неравенство показывает, что с возрастанием nпогрешность убывает не медленнее, чем.
Например, погрешность значения интеграла при в 100 раз меньше погрешности при.
Выводы:
Чем больше параметр разбиения n, тем формула точнее.
При формула дает точное значение интеграла.
Алгоритм программы метода прямоугольника
В качестве констант можно задать количество точек разбиения Nи границы отрезка интегрирования.
Шаг разбиения Hопределяется переменной вещественного типа, также нам понадобится вспомогательные переменнаяKцелого типа (для оператора цикла) и переменнаяIntegralдля хранения приближенного значения интеграла. Для определения координаты точки разбиения используется переменнаяXвещественного типа.
Подинтегральную функцию лучше всего задать в программе с помощью оператора функции Function.
В начале программы следует вычислить шаг разбиения по формуле H:=(B-A)/N;
Начальное значение интеграла Integralравно 0.
Для вычисления приближенного значения интеграла по формуле левых прямоугольников (2.4) нам потребуется выполнить одну и ту же операцию (суммирование) заданное количество раз. Для этого можно использовать цикл с параметром. Параметр Kменяется от 0 доN-1.
В цикле мы должны увеличивать значение переменной Integralна.
Для этого в текст программы вставим две команды. Первая считает координаты очередной точки разбиения X:=A+K*H;Вторая команда имеет вид:Integral:=Integral+F(X);Обе команды должны выполняться в цикле, поэтому их необходимо объединить в составной операторbegin..end.
Для окончательного вычисления интеграла нам необходимо умножить значение переменной Integral(в формуле это сумма элементов в квадратных скобках) на шаг разбиения:Integral:=Integral*H;
Заключительный шаг алгоритма - вывести полученное решение на экран.
Формула трапеций
Формула трапеций имеет вид:
. (2.6)
Формулу трапеций проще всего получить из геометрического смысла операции интегрирования (рисунок № 4). Интеграл равен площади фигуры, ограниченной подинтегральной функцией и осями координат. Данная площадь приблизительно равна сумме площадей трапеций.
Площадь k-той трапеции равна
. (2.7)
Поэтому имеем
.
Т.е. получили формулу (2.6).
Если на отрезке существует, то для погрешности метода трапецийсправедлива оценка:
. (2.8)
Т.о. формулы прямоугольников и трапеций характеризуются погрешностью одного класса6, но погрешность у метода трапеций в 2 раза больше.
Рисунок 3. Геометрический смысл метода трапеций
Примерфрагмента программы для вычисления интеграла по формуле трапеций. Предполагается, что ранее были определены все соответствующие переменные и подинтегральная функцияF(x).
H:=(B-A)/N;
Integral:=F(A)+F(B);
For K:=1 to N-1 do
begin
X:=A+K*H;
Integral:=Integral+2*F(X);
end;
Integral:=Integral*H/2;