Простейший подход к сглаживанию

Суть процедуры сглаживания состоит в подмене данной функции на каждом из рассматриваемых отрезков наилучшим линейным среднеквадратичным приближением.

На первом этапе. Для таблично заданной функции найти такую функцию S(x), составленную из линейных функций , чтобыдля всех х в смысле минимума квадрата отклонений, т.е.. В результате решается задача нахождения коэффициентовa_i, b_i методом наименьших квадратов:

,

Второй этап состоит в пересчете данной таблицы , для. Доопределим новую табличную функцию значениямии. В результате этого получаем новую табличную функцию, в которой сохраняется характер поведения исходной функции. Описанная процедура называется осреднением по трем точкам и является простым частным случаем линейного фильтра.

Кусочно-кубические сплайны

Определение: Функция S(x) называется кубическим сплайном, если существует N кубических полиномов S_k(x) с коэффициентами s_k,0, s_k,1, s_k,2, s_k,3, которые удовлетворяют следующим условиям:

1. , для

и , т.е. кубический сплайн состоит из кубических полиномов.

2. Кусочно-кубическое интерполирование задается совокупностью точек, т.е. для.

3. Кусочно-кубическое представление состояло из кривых, которые являются гладкими непрерывными функциями. Вторая и первая производные должны быть непрерывны: ,,.

Наиболее часто на практике используется кубический сплайн следующего вида: .

Для задания сплайна коэффициенты ,,,- подбираются так, чтобы, а первая и вторая производные были непрерывными.

Леммы о сплайнах:

1. Смыкающий (чертежный) сплайн. Существует единственный кубический сплайн, который имеет первую производную с граничными условиями ,, т.е. смыкающий сплайн имеет определенный наклон в крайних точках.

2. Естественный сплайн. Существует единственный кубический сплайн со свободными граничными условиями ,, т.е. сплайн допускает свободный наклон на краях для обеспечения положения, которое минимизирует осцилляцию кривой.

3. Экстраполяционный сплайн. Существует единственный кубический сплайн, который используется для экстраполирования по внутренним узлам, чтобы определить по узлам х₁, х₂ и по узлам х_N-1, х_N-2.

4. Сплайн, заканчивающийся параболой. Существует единственный кубический сплайн такой, что на интервале [x₀, x₁] и на интервале [x_N-1, x_N].

5. Сплайн с заданной кривизной в крайних точках. Существует единственный кубический сплайн с заданными значениями второй производной в крайних точках.

Список литературы

1. Фадеев Д.К., Фадеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. - М.: ГИФМЛ, 1960, - 656 с.

65. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. - М.: Наука, 2006, - 664 с.

66. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. - М.: Наука, 1980, - 536 с.

67. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. - М.: Наука, 1987, - 600 с.

68. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. - М.: Наука, 1989, - 656 с.

2. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989, - 432 с.

3. Вержбицкий В.М. Численные методы (математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения): Учебное пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2001, - 382с.

1Например,F(a)<0иF(b)>0.

2На анализируемом отрезке[a,b].

3Т.е. корни уравнений совпадают.

4Однократное выполнение процесса вычисления очередного приближения называется итерацией.

5Буквально - формулами вычисления площадей.

6Говорят, что формулы прямоугольников и трапеций имеют второй класс точности.

7Иначе говоря, параболой.

8Выведите данную формулу самостоятельно. Подсказка - примените формулу погрешности метода Симпсона.

9Для первой и последней точки разбиения значение функции умножать на коэффициент не надо.

10Если в программе вычисляется только один интеграл, то это не имеет значения. Но в некоторых профессиональных программах требуется вычислить интегралы для тысяч функций. В этом случае скорость метода имеет существенное значение.

11Интегралы от степенной функции легко подсчитать по формуле Ньютона - Лейбница.