40. Предел и непрерывность функции нескольких переменных.

При изучении многих явлений приходится встречаться с функциями двух

и более независимых переменных. Приведем примеры:

1. Площадь S прямоугольника со сторонами x и y выражается формулой S =

xy. Каждой паре значений x и y соответствует определенное значение площади

S; S есть функция двух переменных.

2. Объем V прямоугольного параллелепипеда с ребрами, длины которых рав-

ны x, y и z выражается формулой V = xyz. Здесь V есть функция трех пере-

менных.

Определение. Если каждой паре (x, y) значений двух независимых друг от

друга переменных величин x и y, из некоторой области их изменения D, ста-

вится в соответствие единственное значение величины z, то говорят, что z есть

функция двух независимых переменных x и y z = f(x, y).

Определение. Совокупность пар (x, y), при которой определяется функция

z = f(x, y), называется областью определения этой функции.

Примеры.

1. z = x

2y + xy2

, D(z) = {x, y : x, y ∈ (−∞, +∞);

2. z =

p

1 − x

2 − y

2, D(z) = {x, y : 1 − x

2 − y

2 > 0} = {x, y : x

2 + y

2 6 1};

3. z = ln(x + y), D(z) = {x, y : x + y > 0}.

Рассмотрим функцию z = f(x, y), определенную в некоторой области D.

Фиксируем в этой области точки M(x, y), M1(x+∆x, y), M2(x, y +∆y), M3(x+

∆x, y + ∆y) и вычислим в них значение данной функции.

Определение. Полным приращением функции двух независимых перемен-

ных z = f(x, y) называется разность

∆z = f(x + ∆x, y + ∆y) − f(x, y), (1)

а ее частными приращениями (по x и y соответственно) в той же точке –

разности

∆xz = f(x + ∆x, y) − f(x, y), (2)

∆yz = f(x, y + ∆y) − f(x, y). (3)

Введем несколько вспомогательных понятий.

4

Определение. Окрестностью точки M0(x0, y0) называется совокупность всех

точек M(x, y), удовлетворяющих неравенству

ρ(M, M0) = p

(x − x0)

2 + (y − y0)

2 < r.

Определение. Точка M называется предельной точкой множества D, если

любая ее окрестность содержит по крайней мере одну точку множества D,

отличную от M.

Пусть дана функция z = f(M), определенная на множестве D и M0 –

предельная точка множества D.

Определение. Число A называется пределом функции z = f(M) при M →

M0, если ∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀M ∈ D, удовлетворяющей условию 0 < ρ(M, M0) < δ,

выполняется неравенство |f(M) − A| < ε.

Обозначение: lim

M→M0

f(M) = A, lim x→x0 y→y0

f(x, y) = A.

Определение. Пусть точка M0(x0, y0) ∈ D. Функция z = f(x, y) называется

непрерывной в точке M0(x0, y0), если справедливо

lim

M→M0

f(M) = f(M0). (4)

Если обозначить x = x0 +∆x, y = y0 +∆y, то равенство (4) можно переписать

так

lim

∆x→0 ∆y→0

f(x0 + ∆x, y0 + ∆y) = f(x0, y0)

или

lim

∆x→0 ∆y→0

f(x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f(x0, y0)

= 0. (5)

Обозначим ∆ρ =

p

(∆x)

2 + (∆y)

2. При ∆x → 0 и ∆y → 0 ∆ρ → 0 и

обратно, если ∆ρ → 0, то ∆x → 0 и ∆y → 0. Так как выражение в (5) есть

полное приращение, то равенство (5) можно записать в виде

lim

∆ρ→0

∆z = 0

– необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке

41. Частные производные функции нескольких переменных .

Определение. Частной производной по x от функции z = f(x, y) называ-

ется предел отношения частного приращения ∆xz к приращению ∆x, когда

5

последнее стремится к нулю:

∂z

∂x = lim

∆x→0

f(x + ∆x, y) − f(x, y)

∆x

.

Аналогично частной производной по y от функции z = f(x, y) называется пре-

дел отношения частного приращения ∆yz к приращению ∆y, когда последнее

стремится к нулю:

∂z

∂y = lim

∆y→0

f(x, y + ∆y) − f(x, y)

∆y

.

Пример. Найти частные производные функции z = xy3 + x

2

.

∂z

∂x = lim

∆x→0

(x + ∆x)y

3 + (x + ∆x)

2 − xy3 − x

2

∆x

= lim

∆x→0

∆xy3 + 2x∆x + (∆x)

2

∆x

= lim

∆x→0

(y

3 + 2x + ∆x) = y

3 + 2x;

∂z

∂y = lim

∆y→0

x(y + ∆y)

3 + x

2 − xy3 − x

2

∆y

= lim

∆y→0

3xy2∆y + 3xy(∆y)

2 + x(∆y)

3

∆y

= lim

∆y→0

(3xy2 + 3xy∆y + x(∆y)

2

) = 3xy2

.

Определение. Частными производными второго порядка данной функции

называются соответствующие частные производные от ее первых частных про-

изводных:

∂

2

z

∂x2

=

∂

∂x

∂z

∂x

= zxx,

∂

2

z

∂x∂y =

∂

∂y

∂z

∂x

= zxy,

∂

2

z

∂y2

=

∂

∂y

∂z

∂y

= zyy,

∂

2

z

∂y∂x =

∂

∂x

∂z

∂y

= zyx.

Теорема. Если функция z = f(x, y) и ее смешанные производные fxy и fyx

определены в некоторой окрестности точки M0(x0, y0), причем производные

непрерывны в этой точке, то

fxy(x0, y0) = fyx(x0, y0)