II. Метод подстановки (интегрирование заменой переменной)

Если функция x=φ(t) имеет непрерывную производную, то в данном неопределенном интеграле ∫f(x)dx всегда можно перейти к новой переменной t по формуле

∫f(x)dx=∫f(φ(t))φ'(t)dt

Затем найти интеграл из правой части и вернуться к исходной переменной. При этом, интеграл стоящий в правой части данного равенства может оказаться проще интеграла, стоящего в левой части этого равенства, или даже табличным. Такой способ нахождения интеграла называется методом замены переменной.

Пример 7. ∫x√x-5dx

Чтобы избавиться от корня, полагаем √x-5=t. Отсюда x=t²+5 и, следовательно, dx=2tdt. Производя подстановку, последовательно имеем:

∫x√x-5dx=∫(t²+5)•2tdt=∫(2t⁴+10t²)dt=2∫t⁴dt+10∫t²dt=

III. Метод интегрирования по частям

Метод интегрирование по частям основан на следующей формуле:

∫udv=uv-∫vdu

где u(x),v(x) –непрерывно дифференцируемые функции. Формула называется формулой интегрирования по частям. Данная формула показывает, что интеграл ∫udv приводит к интегралу ∫vdu, который может оказаться более простым, чем исходный, или даже табличным.

Пример 12. Найти неопределенный интеграл ∫xe^-2xdx

Воспользуемся методом интегрирование по частям. Положим u=x, dv=e^-2xdx. Тогда du=dx, v=∫xe^-2xdx=-e^-2x+C  Следовательно по формуле имеем:  ∫xe^-2xdx=x(-e^-2x)-∫-^-2dx=-e^-2x-e^-2x+C

23. Рациональная дробь - это дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены.

Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование

 Всякую рациональную функцию можно представить в виде рациональной дроби, т. е. в виде отношения двух многочленов:

Если степень числителя ниже степени знаменателя, то дробь называется правильной, в противном случае дробь называется неправильной.

Если дробь неправильная, то, разделив числитель на знаменатель (по правилу деления многочленов), можно представить данную дробь в виде суммы многочлена и некоторой правильной дроби: , где M(x)-многочлен, а правильная дробь.

Пример: Пусть дана неправильная рациональная дробь.

Тогда ,так как, при делении уголком получим остаток (4x-6).

Т. к. интегрирование многочленов не представляет принципиальных затруднений, то основная трудность при интегрировании рациональных дробей заключается в интегрировании правильных рациональных дробей.

Можно выделить несколько типов рациональных дробей:

I. Вид: .

II. Вид:(k-целое положительное число ³2).

III. Вид: .

IY. Вид:(k-целое³2).

Рассмотрим интегралы от простейших рациональных дробей.

I. .

II. =A .

24. Интегрирование рациональных дробей

Пусть подынтегральное выражение есть рациональная дробь где и - полиномы (многочлены) степеней k и n соответственно. Не умаляя общности, можем считать, что k < n, так как в противном случае всегда можно представить числитель в виде P(x) = Q(x)R(x) + S(x) где R(x)и S(x) -полиномы, называемые обычно, как и в случае действительных чисел, частным и остатком, причем степень полинома S(x) меньше n. Тогда

, (1.1)

а интеграл от полинома R(x) мы вычислять умеем. Покажем на примере, как можно получить разложение (1.1). Пусть  P(x) = x⁷ + 3x⁶ + 3x⁵ – 3x₃ + 4x₂ + x -2, Q(x) = x + 3x² + x-2. Разделим полином P(x) на полином Q(x) так же, как мы делим вещественные числа (решение получаем через калькулятор деления столбиком).  Таким образом, мы получили целую часть дроби (частное от деления полинома P на полином Q) R(x) = x⁴ + 2x²– 4x + 7 и остаток S(x) = 9x² – 14x +12 от этого деления.  По основной теореме алгебры [6] любой полином может быть разложен на простейшие множители, то есть представлен в виде , где – корни полинома Q(x) повторенные столько раз, какова их кратность.  Пусть полином Q(x) имеет n различных корней . Тогда правильная рациональная дробь может быть представлена в виде , где - числа подлежащие определению. Если - корень кратности α, то ему в разложении на простейшие дроби соответствует α слагаемых . Если x_j- комплексный корень кратности полинома с действительными коэффициентами, то комплексно сопряженное число - тоже корень кратности α этого полинома. Чтобы не иметь дело с комплексными числами при интегрировании рациональных дробей, слагаемые в разложении правильной рациональной дроби, соответствующие парам комплексно сопряженных корней, объединяют и записывают одним слагаемым вида , если – корни кратности один. Если – корни кратности , то им соответствует слагаемых и соответствующее разложение имеет вид

.

Таким образом, интегрирование правильных рациональных дробей свелось к интегрированию простейших дробей, из которых являются табличными, может быть найден по рекуррентной формуле , которая получается интегрированием по частям. Интегралы , в случае, когда знаменатель имеет комплексные корни (дискриминант ), сводятся, с помощью выделения полного квадрата, к интегралам , заменой .  Одним из способов нахождения коэффициентов в разложении правильной рациональной дроби является следующий. Правую часть полученного разложения с неопределенными коэффициентами приводят к общему знаменателю. Так как знаменатели правой и левой частей равны, то должны быть равны и числители, которые являются полиномами. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях (так как полиномы равны, если равны коэффициенты при одинаковых степенях ), получаем систему линейных уравнений для определения этих коэффициентов.

25. Интегрирование иррациональных функций - Общий принцип интегрирования иррациональных выражений заключается в замене переменной, позволяющей избавиться от корней в подынтегральном выражении. Для некоторых классов функций эта цель достигается с помощью стандартных замен.

Интегралы вида , где - рациональная функция своих аргументов, вычисляются заменой .

Интегралы вида  вычисляются заменой или .

Интегралы вида  вычисляются заменой  или . Интегралы вида вычисляются заменой или .

26. Интегрирование иррациональных функций - Общий принцип интегрирования иррациональных выражений заключается в замене переменной, позволяющей избавиться от корней в подынтегральном выражении. Для некоторых классов функций эта цель достигается с помощью стандартных замен.

Интегралы вида , где - рациональная функция своих аргументов, вычисляются заменой .

Интегралы вида  вычисляются заменой или .

Интегралы вида  вычисляются заменой  или . Интегралы вида вычисляются заменой или .

27. Определение определённого интеграла. Определённым интегралом от непрерывной функции f(x) на конечном отрезке [a, b] (где ) называется приращение какой-нибудь её первообразной на этом отрезке

Пусть на отрезке [a,b] задана функция y = f(x). Разобьём отрезок [a,b] произвольным образом на n частей точками [x₀ , x₁], [x₁ , x₂], …, [x_i-1 , x_i], …, [x_n-1 , x_n]; длину i-го отрезка обозначим : ; максимальную из длин отрезков обозначим . На каждом из отрезков [x_i-1 , x_i] выберем произвольную точку и составим сумму .  Сумма называется интегральной суммой. Если существует (конечный) предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения отрезка[a,b] на части [x_i-1 , x_i], ни от выбора точек , то функция f(x) называется интегрируемой по отрезку [a,b], а этот предел называется определённым интегралом от функции f(x) по отрезку [a,b] и обозначается .  Функция f(x), как и в случае неопределённого интеграла, называется подынтегральной, числа a и b - соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования.  Кратко определение иногда записывают так: .  В этом определении предполагается, что b> a. Для других случаев примем, тоже по определению:  Если b=a, то ; если b<a, то .