- •9) Производная. Геометрический и физический смысл производной
- •10) Производные некоторых основных элементарных функций
- •11) Основные правила дифференцирования
- •12 Таблица основных формул дифференцирования
- •Производные высших порядков
- •16.Экстремум функции. Необходимое и достаточное условие экстремума
- •17. Направление выпуклости. Точки перегиба.
- •18. Асимптоты функции
- •20. Первообразная и неопределенный интеграл, их свойства.
- •21. Таблица интегралов
- •I. Метод непосредственного интегрирования
- •II. Метод подстановки (интегрирование заменой переменной)
- •III. Метод интегрирования по частям
- •Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование
- •28. Свойства определённого интеграла
- •37. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
- •38. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
- •39. Функциональные ряды. Степенные ряды. Радиус сходимости. Интервал сходимости.
- •40. Предел и непрерывность функции нескольких переменных.
- •41. Частные производные функции нескольких переменных .
- •42. Полный дифференциал функции нескольких переменных.
№3:» Бесконечно малые функции и их свойства».
Определение: Функция называется бесконечно малой функцией (б.м.ф.) при х→а (или в точке х=а ), если
Пример: у=х является б.м ф, при х→0.
Основные свойства бесконечно малых функций
1° Сумма конечного числа б.м функций является функцией б.м.
2° Произведение б.м функции на ограниченную есть функция б.м.
3° Произведение двух б.м функций есть функция б.м.
4° Произведение б.м функции на константу является б.м функцией.
5° Частное от деления б.м функции на функцию, предел которой не равен нулю, есть функция б.м.
6° Функция 1/а(х) , обратная к б.м функции а(х) ≠0 , есть функция бесконечно большая. Верно и обратное.
№7:»Первый и Второй замечательный предел»
Замеча́тельные преде́лы — термин, использующийся в советских и российских учебниках по математическому анализу для обозначения некоторых широко известных математических тождеств со взятием предела. Особенно известны:
Первый замечательный предел:
Определение: Первым замечательным пределом называется предел отношения синуса бесконечно малой дуги к той же дуге, выраженной в радианной мере:
Приведённое выше равенство основано на эквивалентности бесконечно малых. Следовательно, верно равенство и следующего отношения:
Доказательство:
Рассмотрим односторонние пределы ии докажем, что они равны 1.
Пусть . Отложим этот угол на единичной окружности (R = 1).
Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке(1;0). Точка H — проекция точки K на ось OX.
Очевидно, что:
(1)
(где SsectOKA — площадь сектора OKA)
(из : |LA | = tgx)
Подставляя в (1), получим:
Так как при :
Умножаем на sinx:
Перейдём к пределу:
Найдём левый односторонний предел:
Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.
Следствия:
Вторым замечательным пределом называется равенство
, где
е-иррациональное число.
В случае второго замечательного предела имеем дело с неопределенностью вида единица в степени бесконечность .
Доказательство для натуральных значений .
Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что . Рассмотрим два случая:
1. Пусть . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами:, где— это целая часть x.
Отсюда следует: , поэтому
.
Если , то. Поэтому, согласно пределу, имеем:
.
По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов .
2. Пусть . Сделаем подстановку, тогда
.
Из двух этих случаев вытекает, что для вещественного x.
Следствия
для ,
№5:»Непрерывность функции, точки разрыва, их классификация».
Непрерывная функция — функция без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения аргументаприводят к малым изменениям значения функции.
Функция называетсянепрерывной в точке , если:
функция определена в точкеи ее окрестности;
существует конечный предел функциив точке;
это предел равен значению функции в точке , т.е.
Замечание:
При нахождении предела функции , которая является непрерывной, можно переходить к пределу под знаком функции, то есть
Пример
Задание. Вычислить предел
Решение.
Ответ.
Точки разрыва функции и их классификация:
Определение точки разрыва
Определение
Точка , в которой нарушено хотя бы одно из трех условийнепрерывности функции, а именно:
функция определена в точке и ее окрестности;
существует конечный предел функциив точке;
это предел равен значению функции в точке , т.е.
называется точкой разрыва функции.
Пример
Функция не определена в точке, а значит, эта точка является точкой разрыва указанной функции.
Точка разрыва первого рода
Определение
Если в точке существуют конечные пределыи, такие, что, то точканазываетсяточкой разрыва первого рода.
Пример
Функция в точкеимеет разрыв первого рода, так как
, а
Точка разрыва второго рода
Определение
Если хотя б один из пределов илине существует или равен бесконечности, то точканазываетсяточкой разрыва второго рода.
Пример
Для функции точка- точка разрыва второго рода, так как.
Точка устранимого разрыва
Определение
Если существуют левый и правый пределы функциив точке и они равны друг другу, но не совпадают со значением функциив точке:или функцияне определена в точке, то точканазываетсяточкой устранимого разрыва.
Пример
Рассмотрим функцию . Найдемодносторонние пределыи значение функции в точке:
Так как и не равны значению функции в точке, то точка- точка устранимого разрыва.
№6: «Предел последовательности».
Определение: число называется пределом последовательности, если для любой его окрестности (заранее выбранной) существует натуральный номер – ТАКОЙ, что ВСЕ члены последовательности с бОльшими номерам окажутся внутри окрестности.
Число называется пределом последовательности, если , , : . Предел последовательности обозначается. Куда именно стремится, можно не указывать, поскольку, оно может стремиться только к.
Свойства:
Если предел последовательности существует, то он единственный.
(если оба предела существуют)
(если оба предела существуют)
(если оба предела существуют и знаменатель правой части не ноль)
Если и, то(теорема «о зажатой последовательности», также известная, как «теорема о двух милиционерах»)
№1.
1)
2)
3)
4)
8) Некоторые важные пределы |
Если угол а выражен в радианах, то При нахождении многих пределов применяются следующие пределы: (13.19) (13.20) (13.21) Частными случаями формул (13.19) и (13.20) являются соответственно формулы: (13.22) (13.23) При нахождении пределов видаНеобходимо иметь В виду следующее: 1) если существуют конечные пределы 2) еслиИ, тоНаходится с помощью формул 3) еслиТо, положивГде ПриПолучим Пример 13.12. Найти ПриВыражениеПолучаем неопределенность ВидаЧтобы раскрыть ее, введем новую переменную по формулеОткудаКогдаПереходя к пределу С использованием формул (13.13) и (13.18), находим В частности, приПолучаем Пример 13.13. Найти Разделив числитель и знаменатель наИ воспользовавшись результатом примера 13.12, получим Пример 13.14. НайтиПреобразуя эту дробь и применяя первую из формул (13.17), находим Пример 13.15. Найти Преобразуя данную функцию, вводя новую переменнуюИ применяя Формулу (13.21), находим
|
9) Производная. Геометрический и физический смысл производной
Перейти к списку задач и тестов по теме "Производная. Геометрический и физический смысл производной"
Определение: Производной функции f(x) (f'(x0)) в точке x0 называется число, к которому стремится разностное отношение , стремящемся к нулю.
Производные элементарных функций.
Правила дифференцирования.
Если у функций f(x) и g(x) существуют производные, то
Производная сложной функции:
Геометрический смысл производной. Производная в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y=f(x) в этой точке
Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x0 :
Физический смысл производной.
Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону x(t), то мгновенная скорость точки:
10) Производные некоторых основных элементарных функций
В этом пункте мы найдем производные следующих основных элементарных функций: постоянной (константы) степенной функции с натуральным показателем , показательной функции логарифмической функции и тригонометрических функций .
Производные остальных основных элементарных функций будут найдены в последующих пунктах. 1. Производная постоянной Так как функция сохраняет постоянное значение на всей числовой оси, то в произвольно выбранной точке любому приращению аргумента соответствует приращение функции , равное нулю. Поэтому
Итак,
2. Производная степенной функции с натуральным показателем . Пусть х — произвольно выбранная точка, -приращение аргумента в этой точке и — соответствующее приращение данной функции. Тогда по формуле бинома Ньютона
или
Следовательно,
Таким образом,
3. Производная показательной функции Давая приращение произвольно выбранному значению аргумента получим следующее приращение показательной функции:
Следовательно,
так как (см. гл. V, § 2, п. 2, пример 3).
Таким образом,
В частности, при получим
так как
4. Производная логарифмической функции Возьмем любое значение из области определениялогарифмической функции и дадим ему приращение Тогда приращение функции
Поэтому
Для того чтобы найти этот предел, сделаем следующее преобразование:
Принимая во внимание, что величина постоянна и что при также и по формуле (25) гл. V, § 2 получим
Итак,
(19)
или
так как
В частности, при получим
так как
5. Производные функций Пусть — приращение произвольно выбранного значения аргумента функции Тогда приращение этой функции
Следовательно,
так как по формуле (18) гл. V, § 1, п. 7
Таким образом,
Аналогично выводится формула для производной функции
11) Основные правила дифференцирования
Установим правила, по которым можно было бы находить производные суммы, произведения и частного функций, зная производные слагаемых, сомножителей, делимого и делителя.
Эти правила мы сформулируем в следующих теоремах.
Теорема I. Если функции дифференцируемы в данной точке , то в той же точке дифференцируема и их сумма, причем производная суммы равна сумме производных слагаемых:
Доказательство. Рассмотрим функцию . Приращению аргумента соответствуют приращения
функций и и и. Тогда функция у получит приращение
Следовательно,
Так как по предложению функции и и v дифференцируемы, то
и, следовательно, .
Итак,
Замечание. Формула (23) легко обобщается на случай любого конечного числа слагаемых:
Пример 1. Найти производную функции Решение. Применяя вначале формулу (24), а затем формулы (16), (21) и (20), получим
Теорема 2. Если функции и дифференцируемы в данной точке , то в той же точке дифференцируемо и их произведение. При этом производная произведения находится по следующей формуле:
Доказательство. Пусть
Если получит приращение то функции и, v и у будут иметь соответственно некоторые приращения причем
Следовательно,
Так как при фиксированном постоянны, то их можно вынести за знак предела. Поэтому
Кроме того,
так как функция v по условию дифференцируема, а следовательно, и непрерывна, и поэтому
Таким образом,
Следствие. Постоянный множитель можно вынести за знак производной:
Действительно, если (с — постоянная), то по формуле (25)
В частности, можно выносить за знак производной множитель, равный —1, что равносильно вынесению за знак производной знака
На этом основании можно получить формулу для производной разности двух функций:
Пример 2. Найти производную функции .
Решение. По формулам (25), (18) и (22) получим
Пример 3. Найти производную многочлена Решение. Применяя последовательно формулы (24), (26), (16) и (15), получим
Замечание. Формулу (25) можно обобщить на случай любого конечного числа сомножителей. Если, например, , то
В самом деле,
Теорема 3. Если в данной точке функции дифференцируемы и , то в той точке дифференцируемо и их частное причем
Доказательство. Пусть — приращение аргумента а — соответствующие приращения функций . Тогда функция будет иметь приращение
Следовательно,
или
Мы считали, что вследствие предположения о дифференцируемости, а следовательно, инепрерывности функции у.
Пример 4. Найти производную функции .
Решение. Представив данную функцию в виде частного
получим по формуле (29):
Таким образом,
При этом условие выполняется для любого принадлежащего области определения функции
Аналогично выводится формула для производной функции :