28. Свойства определённого интеграла

Теорема 1. Определённый интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю, т.е.

Это свойство содержится в самом определении определённого интеграла. Однако его можно получить и по формуле Ньютона-Лейбница:

Теорема 2. Величина определённого интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е.

                        

Пусть F(x) – первообразная для f(x). Для f(t) первообразной служит та же функцияF(t), в которой лишь иначе обозначена независимая переменная. Следовательно,

На основании формулы последнее равенство означает равенство интегралов

и

Теорема 3. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла, т.е.

                      

Теорема 4. Определённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определённых интегралов от этих функций, т.е.

           

Теорема 5. Если отрезок интегрирования разбит на части, то определённый интеграл по всему отрезку равен сумме определённых интегралов по его частям, т.е. если

то

Теорема 6. При перестановке пределов интегрирования абсолютная величина определённого интеграла не меняется, а изменяется лишь его знак, т.е.

                

Теорема 7 (теорема о среднем). Определённый интеграл равен произведению длины отрезка интегрирования на значение подынтегральной функции в некоторой точке внутри его, т.е.

  

Теорема 8. Если верхний предел интегрирования больше нижнего и подынтегральная функция неотрицательна (положительна), то и определённый интеграл неотрицателен (положителен), т.е. если

Теорема 9. Если верхний предел интегрирования больше нижнего и функции и непрерывны, то неравенство

можно почленно интегрировать, т.е.

Свойства определённого интеграла позволяют упрощать непосредственное вычисление интегралов.

• Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.

Формула Ньютона-Лейбница

Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Если F (x) - первообразная функции f (x) на [a, b], то

Вычисление определенного интеграла.

Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Определенный интеграл от функции f (x) в пределах от a до b вводится как предел суммы бесконечно большого числа слагаемых, каждое из которых стремится к нулю:

где

Свойства определенного интеграла

Ниже предполагается, что f (x) и g (x) - непрерывные функции на замкнутом интервале [a, b].

1.

2.

где k - константа

3.

4.

5. если

для всех

то

6.

7.

8. если

в интервале [a, b], то

• Интегрирование по частям и замена переменных в определенном интеграле.

Замена переменной в определенном интеграле

Определенный интеграл

по переменной x можно преобразовать в определенный интеграл относительно переменной t с помощью подстановки x = g (t):

Новые пределы интегрирования по переменной t определяются выражениями

где g^-1 - обратная функция к g, т.е. t = g^-1(x).

Интегрирование по частям для определенного интеграла

В этом случае формула интегрирования по частям имеет вид:

где

означает разность значений произведения функций uv при x = b и x = a.

• Вычисление площадей фигуры в декартовой системе координат.

Если плоская фигура ограничена прямыми x=a, x=b, a<b, и кривыми

, то ее площадь вычисляется по формуле

(рис. 1).

Аналогично можно рассматривать фигуру относительно оси ОУ.

В некоторых случаях границы х=а и х=b могут вырождаться в точку пересечения кривых

В сложных случаях область следует разбить на фигуры, границы которых удовлетворяют указанным соотношениям.

При решении задач удобно придерживаться следующего порядка:

-построить в декартовых координатах фигуру, площадь которой требуется найти;

• найти точки пересечения кривых, образующих границу области для определения пределов интегрирования;

• записать формулу для вычисления и найти площадь.

• Несобственные интегралы с бесконечными пределами.

• Признаки сходимости несобственных интегралов.

• Несобственные интегралы от неограниченных функций.

• Числовые ряды. Сумма ряда

36. Необходимый признак сходимости ряда. Признаки сходимости рядов с положительными членами.

Необходимый признак сходимости ряда

Если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится

Или короче: Если , то ряд расходится.

Докажем, что ряд из первого примерарасходится.

Общий член ряда:

Вывод: ряд расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.

О п р е д е л е н и е. Ряды с положительными членами – это ряды, члены которых не отрицательны. Для ряда это означает

Необходимое условие сходимости ряда :

П р и м е р 1. Исследовать сходимость ряда

Р е ш е н и е. Ряд расходится, так как не выполняется необходимое условие сходимости

О т в ет: ряд расходится.