СБОРНИК ЗАДАЧ

Ваттметр W1 показывает мощность всей цепи

P1 = UabI = 90 5 = 450 Âò.

Задача 1.19. В цепи неуравновешенного моста (рис. 1.13, а) E = 1,5 Â, R1 = R2 = R3 = 3 Îì, R4 = 1 Îì, R5 = 5 Ом. Определить: 1) токи ветвей; 2) ток третьей ветви методом эквивалентного генератора. При каком значении сопротивления резистора R3 мощность, выделяемая в нем, будет максимальной?

Р е ш е н и е . 1. При решении задачи рационально использовать метод преобразования треугольника сопротивлений R1, R2, R3 в эквивалентную звезду сопротивлений R12, R23, R31:

Ð è ñ . 1 . 1 3

20

Эквивалентная схема, полученная после преобразования, представляет собой смешанное соединение сопротивлений (рис. 1.13, б).

Ток в неразветвленной части цепи

Для определения I1, I2 è I3 предварительно находим по второму закону Кирхгофа соответствующие напряжения:

Uac = E − Ucd = E − R5I5 = 0,75 Â;

Uab = E − R4I4 = 1,05 Â;

Ucb = R5I5 − R4I4 = 0,3 Â.

Определяем токи в треугольнике сопротивлений:

I1 = UacR1 = 0,25 À; I2 = UabR2 = 0,35 À; I3 = UcbR3 = 0,1 À.

Чтобы проконтролировать правильность решения задачи, составляем уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов а, b è с:

èëè

0,6 = 0,25 + 0,35; 0,45 = 0,1+0,35; 0,25 = 0,1+0,15.

2. Метод эквивалентного генератора целесообразно применять для нахождения тока в какой-либо одной ветви разветвленной цепи. Отключив ветвь с искомым током, находим параметры экви-

21

валентного генератора. Его ЭДС равна напряжению холостого хода между зажимами отключенной ветви (рис. 1.13, в):

= 11,25 − 0,5625 = 0,5625 Â.

Внутреннее сопротивление эквивалентного генератора равно входному сопротивлению цепи относительно зажимов сb при замене источника ЭДС его внутренним сопротивлением (при его наличии) и разомкнутой третьей ветви (рис. 1.13, г):

Искомый ток третьей ветви (рис. 1.13, д):

Мощность, выделяемая в резисторе сопротивлением R3, будет максимальна при равенстве сопротивления R3 и внутреннего сопротивления эквивалентного генератора Râõ (согласованный режим), т.е. при R3 = Râõ = 2,625 Îì.

Задача 1.20. Для измерения температуры применяется неуравновешенная мостовая цепь, в одно из плеч которой включен медный терморезистор (рис. 1.14). Сопротивление миллиамперметра RÀ = 50 Ом, сопротивления плеч моста R1 = R2 = R3 = 100 Ом. Напряжение U = 4 В. Сопротивление терморезистора связано с температурой t зависимостью

22

Данное выражение позволяет после преобразования найти сопротивление терморезистора:

Rt = R1R3UI + R1R2R3 + R1RÀ (R2 + R3) = 137,5 Îì. R2U I − (R2 + R3)(R1 + RÀ ) − R2R3

Используя уравнение преобразования медного терморезистора

Rt = R0 (1 + 0,00426t),

определяем его температуру:

Задача 1.21. Â öåïè (ðèñ. 1.15) Е3 = 10 Â, E4 = 80 Â, R1 = 2 Îì, R2 = 24 Îì, R3 = 4,5 Îì, R4 = 10 Îì, R5 = 2 Ом. Амперметр показывает ток I5 = 10 А. Определить ЭДС Е1. Для контрольной проверки составить баланс мощностей.

Ðè ñ . 1 . 1 5

Ðе ш е н и е . Условие задачи позволяет получить ответ без составления системы уравнений.

23

На основании первого закона Кирхгофа для узла b

I3 = I5 − I4 = 10 − 6 = 4 À.

Используя законы Кирхгофа, определяем остальные токи ветвей:

E4 + E3 = R4I4 − R3I3 + R2I2,

откуда

I2 = E4 + E3 + R3I3 − R4I4 = 2 À; I1 = I2 + I3 = 6 À. R2

Искомая ЭДС

E1 = R1I1 + R2I2 = 2 6 + 24 2 = 60 Â.

Составляем баланс мощностей:

ΣEI = ΣRI 2;

E1I1 − E3I3 + E4I4 = R1I12 + R2I22 + R3I32 + R4I42 + R5I52;

360 – 40 + 480 = 72 + 96 + 72 + 360 + 200; 800 Âò = 800 Âò.

Так как направление тока I3 противоположно направлению ЭДС E3, то этот источник работает в режиме потребителя энергии, его мощность E3I3 учтена со знаком минус.

Задача 1.22. Â öåïè (ðèñ. 1.15) E1 = 56 Â, E3 = 10 Â, Е4 = 80 Â, R1 = 1 Îì, R2 = 12 Îì, R3 = 4,5 Îì, R4 = 10 Îì, R5 = 2 Ом. Определить токи ветвей следующими методами: 1) непосредственного использования законов Кирхгофа; 2) контурных токов; 3) узловых потенциалов.

Ð å ø å í è å . 1. Метод законов Кирхгофа. Произвольно обозна- чаем на схеме направления токов ветвей. Общее число уравнений, составляемых по законам Кирхгофа, равно числу неизвестных токов, а следовательно, числу ветвей цепи m.

Если в схеме имеется n узлов, то по первому закону Кирхгофа составляем n – 1 уравнений. Остальные m – (n – 1) уравнения записываем по второму закону Кирхгофа.

24

Система уравнений имеет вид:

Решение полученной системы уравнений с пятью неизвестны-

ми токами дает: I1 = 8 À, I2 = 4 À, I3 = 4 À, I4 = 6 A, I5 = 10 À.

2. Метод контурных токов. Число составляемых по методу контурных токов уравнений сокращается до m – (n – 1). Произвольно обозначаем на схеме (рис. 1.15) положительные направления контурных токов JI, JII è JIII. Получаем по второму закону Кирхгофа уравнения для контурных токов:

E1 = (R1 + R2 ) JI − R2 JII; 56 = 13 JI − 12 JII;

−E3 − E4 = (R2 + R3 + R4 ) JII − R2 JI − R4 JIII;

−90 = −12 JI + 26,5 JII − 10 JIII;

E4 = (R4 + R5 ) JIII − R4 JII; 80 = −10 JII + 12 JIII.

Решаем полученную систему уравнений методом определителей:

25

Действительный ток каждой из ветвей равен алгебраической сумме контурных токов, проходящих по данной ветви:

I1 = JI = 8 À; I2 = JI − JII = 8 − 4 = 4 À;

I3 = JII = 4 À; I4 = JIII − JII = 6 À; I5 = JIII = 10 À.

3.Метод узловых потенциалов. Его рекомендуется использовать

âтех случаях, когда число составляемых по этому методу уравнений (n – 1) меньше числа уравнений, составляемых по методу контурных токов (m – n + 1).

Принимаем потенциал одного из узлов, например узла с, равным нулю (рис. 1.15). Записываем систему уравнений для определения потенциалов узлов а è b:

Решение системы уравнений дает: ϕa = 48 Â, ϕb = 20 Â.

26

Токи ветвей находим по закону Ома:

Задача 1.23. Питание потребителей осуществляется от двух параллельно включенных генераторов; ЭДС первого генератора – 230 В и внутреннее сопротивление R1 =

= 0,05 Ом; ЭДС второго генератора – 220 В и R2 = 0,025 Îì (ðèñ. 1.16).

Определить ток каждого генератора и напряжение на их зажимах, если общий ток потребителей I = 200 À.

Р е ш е н и е . Запишем уравнения первого и второго законов Кирхгофа для рассматриваемой цепи:

I1 + I2 = I; I1 + I2 = 200;

U= E1 − R1I1; U = 230 − 0,05 I1;

U= E2 − R2I2; U = 220 − 0,025 I2.

Решив систему уравнений, получим:

Таким образом, второй генератор не нагружен (I2 = 0) , его ЭДС уравновешивается напряжением на зажимах первого генератора.

Задача может быть решена также путем замены активных ветвей одной эквивалентной с источником ЭДС EÝ и внутренним сопротивлением RÝ:

27

Напряжение на зажимах эквивалентного источника ЭДС

U = EÝ – RÝI = 220 В. Вычисляем токи генераторов:

I1 = (E1 − U )R1 = 200 À; I2 = (E2 − U )R2 = 0.

Задача 1.24. Два гальванических элемента, соединенных параллельно в батарею, питают общую нагрузку (рис. 1.17, а); ЭДС элементов Е1 = Е2 = 1,8 В, внутренние сопротивления R1 = 1 Îì, R2 = = 1,5 Ом. Сопротивление нагрузки R = 3 Ом. Определить токи ветвей: 1) методом двух узлов; 2) методом наложения.

Ðè ñ . 1 . 1 7

Ðå ø å í è å . 1. Метод двух узлов. Узловое напряжение

Находим токи ветвей (с учетом их направления на рис. 1.17, а):

I = Uab = 0,5 À.

R

2. Метод наложения. С помощью расчетных схем (рис. 1.17, б, в) определяем частичные токи от каждой из ЭДС в отдельности. Ча- стичные токи ветвей от первого источника (рис. 1.17, б):

28

I′ = Uab′ = 0,3 À.

R

Частичные токи ветвей от второго источника (рис. 1.17, в):

I″ = Uab″ R = 0,2 À.

Действительные токи ветвей определяем алгебраическим (т.е. с учетом их направления) суммированием частичных токов:

I1 = I1′ − I1″ = 0,9 − 0,6 = 0,3 À; I2 = I2″ − I2′ = 0,2 À;

I = I′ + I″ = 0,5 À.

Задача 1.25. Трамвайная линия длиной l = 10 км питается в конечных пунктах от двух подстанций, на которых поддерживаются постоянные напряжения U1 = 620 Â

è U2 = 580 В. Общее сопротивление контактного провода и рельсов R0 = = 0,1 Ом/км. По линии движется вагон, потребляющий постоянный ток

I = 200 А. В какой точке линии напряжение между контактным проводом и рельсами будет минимальным?

Чему равно это напряжение?

Р е ш е н и е . Расчетная схема, составленная по условию задачи, изображена на рис. 1.18. На ней

R1 = R0 x – сопротивление участка линии длиной х км от первой подстанции до вагона; R2 = R0(l − x) – сопротивление участка линии длиной (l − x) км от второй подстанции до вагона; R = UI – сопротивление нагрузки, т.е. электродвигателей вагона.

Используя расчетную схему (рис. 1.18), определяем по методу двух узлов напряжение между контактным проводом и рельсами в

29