СБОРНИК ЗАДАЧ

В цепи с резистором форма кривой тока повторяет форму кривой напряжения. Электродинамический амперметр показывает действующее значение тока

= U = 155,5 =

I 1555, À.

R100

Активная мощность (показание ваттметра)

P = RI02 + RI12 + RI22 + RI42 + … = RI 2 = UI = 242 Âò.

Кривая выпрямленного напряжения (рис. 5.3, б) симметрична относительно оси ординат, поэтому ряд Фурье не содержит синусных составляющих:

u = 99 + 155cosωt + 66cos2ωt − 13,2cos4ωt + …Â.

Гармонический состав тока резистора аналогичен напряжению:

i = u = 0,99 + 155,cosωt + 0,66cos2ωt − 0132,cos4ωt + …À.

R

Находим действующие значения напряжения и тока:

I = I02 + I12 + I22 + I42 + … ≈ 155, À.

Незначительное отличие действующих значений напряжения и тока от аналогичных значений, полученных интегрированием, обусловлено ограничением числа членов ряда Фурье.

Задача 5.4. Начертить диаграмму изменения тока, проходящего через катушку индуктивности L = 10 мГн, если напряжение на ней периодически изменяется в соответствии с рис. 5.4, а.

Р е ш е н и е . Зависимость мгновенных значений напряжения и тока идеальной (R = 0) катушки индуктивности описывается дифференциальным уравнением

160

u = 50 + 100sin314t + 40sin(942t − 45°) В. Записать уравнения мгновенных значений тока и напряжений на элементах цепи.

Р е ш е н и е . Используя принцип наложения, определяем уравнение тока цепи как сумму отдельных гармоник, вызываемых соответствующими гармониками напряжения источника:

тельной цепи конденсатора, оказывающего постоянному току бесконечно большое сопротивление.

Находим амплитуды первой и третьей гармоник тока:

=100 = 1 À;

100

= 40 = 0,61 À. 65,6

Определяем углы сдвига фаз между гармониками напряжения и тока:

ϕ1 = arctg −1 (ωC) = −53°; ϕ3 = arctg −1 (3ωC) = −24°.

R R

Таким образом, уравнение мгновенного значения тока имеет вид

i = 1sin(314t + 53°) + 0,61sin(942t − 21°) À.

Гармонический состав напряжения и тока резистора совпадает:

uR = Ri = 60sin(314t + 53°) + 36,6sin(942t − 21°) Â.

Напряжение на конденсаторе кроме первой и третьей гармоник содержит постоянную составляющую, равную постоянной составляющей источника питания:

uC = 50 + 80sin(314t − 37°) + 16,2sin(942t − 111°) Â.

Задача 5.6. К зажимам цепи (рис. 5.6) подключен источник периодического несинусоидального напряжения

u = 141sinωt + 70,7sin3ωt+ 35,3sin5ωt Â,

где основная частота ω = 314 с–1.

162

Ð è ñ . 5 . 6

Активное сопротивление и индуктивность цепи равны соответственно R = 10 Îì, L = 31,8 мГн. Рассчитать значения емкости С, соответствующие наступлению резонанса на частотах ω, 3ω и 5ω. Определить действующие значения гармоник тока для этих трех значений емкости. Построить диаграммы действующих значений гармоник тока и действующего значения несинусоидального тока

âфункции емкости С.

Ðе ш е н и е . Из условия резонанса напряжений на k-й гармонике kωL = 1 (kωC) находим числовые значения емкости С, соответствующие наступлению резонанса на частотах трех гармоник напряжения:

для первой гармоники (k = 1)

для пятой гармоники (k = 5)

163

Определяем действующие значения гармоник тока для емкости

(на первой гармонике имеет место резонанс напряжений, поэтому ωL = 1 (ωC1));

Рассчитываем действующие значения гармоник тока для емко-

164

(при емкости С5 = 12,76 мкФ имеет место резонанс напряжений на пятой гармонике).

Для построения диаграммы действующих значений гармоник тока и несинусоидального тока в функции емкости задаемся значе- ниями емкостей и находим соответствующие им гармоники тока I1, I3, I5 и действующее значение несинусоидального тока

Диаграммы I1(С), I3(С), I5(С) è I(С) приведены на рис. 5.6. Задача 5.7. Â öåïè (ðèñ. 5.7) u = 12 + 141sin(ωt + 30°) +

+70,7sin(3ωt − 45°) Â, R = 2 Ом, на основной частоте XL = 2 Îì è XС = 18 Ом. Записать уравнения мгновенных значений токов всех участков цепи. Определить показания электромагнитных амперметров и активную мощность цепи.

Р е ш е н и е . Применяя принцип наложения, ведем расчет токов ветвей для постоянной составляющей и

каждой из гармоник в отдельности. Постоянная составляющая тока

имеет место только в резисторе и

165

Выполняем расчет первых гармоник токов ветвей. Находим полные сопротивления участка ab и всей цепи для первой гармоники:

(индуктивный характер);

Амплитуды первых гармоник токов ветвей:

IRm 1 = Um1 = 141 = 47 À;

Z1 3

Первая гармоника тока резистора отстает по фазе от первой гармоники напряжения источника на угол

Уравнение первой гармоники тока резистора:

iR1 = 47sin(ωt + 30 − 48 ) = 47sin(ωt − 18 ) À.

Поскольку сопротивление участка ab для первой гармоники имеет чисто индуктивный характер, то первая гармоника напряжения этого участка опережает гармонику тока iR1 íà óãîë 90°:

uab 1 = Xab 1 IRm 1sin(ωt − 18° + 90°) = 105,7sin(ωt + 72°) Â,

и уравнения первых гармоник токов имеют вид

iL1 = 53sin(ωt + 72° − 90°) = 53sin(ωt − 18°) À;

iC1 = 5,9sin(ωt + 72° + 90°) = 5,9sin(ωt + 162°) À.

166

Выполняем расчет третьих гармоник токов ветвей. Сопротивление участка ab для третьей гармоники

Zab 3 = Xab 3 = (XC 3)−3XL = 6−6 = ∞, (XC 3) 3XL 6 6

что соответствует резонансу токов. По этой причине третьи гармоники тока и напряжение резистора равны нулю и все напряжение источника третьей гармоники оказывается приложенным к участку ab.

Амплитуды третьих гармоник тока

Ток катушки индуктивности отстает по фазе от напряжения на угол 90°, а ток конденсатора опережает напряжение на угол 90°:

iL3 = 11,8sin(3ωt − 45° − 90°) = 11,8sin(3ωt − 135°) À;

iС3 = 11,8sin(3ωt − 45° + 90°) = 11,8sin(3ωt + 45°) À.

Таким образом, уравнения мгновенных значений токов ветвей имеют следующий вид:

iR = IR0 + iR1 = 6 + 47sin(ωt − 18°) À;

iL = IL0 + iL1 + iL3 = 6 + 53sin(ωt − 18°)+ 11,8sin(3ωt − 135°) À; iC = iC1 + iC3 = 5,9sin(ωt + 162°)+ 11,8sin(3ωt + 45°) À.

Электромагнитные амперметры измеряют действующие значе- ния токов:

167

I0 = IL0 = 12 À;

U0 = (R + R)I0 = (3 + 3) 12 = 72 Â.

Рассчитываем первые гармоники. Комплексная амплитуда напряжения первой гармоники участка ab

U ab m1 = (R + jXL ) I Lm1 = (3 + j4) 14,14 = 5å j53,1 14,14 = 70,7å j53,1 Â.

Находим комплексные амплитуды первых гармоник токов:

168

Комплексная амплитуда напряжения первой гармоники на входе цепи

U m1 = U ab m1 + RI m1 = (42,4 + j56,6) + 3(9,67 + j6,97) =

Уравнения токов iС , i и напряжения u имеют следующий вид: iС = 8,275sin(ωt + 122,6°) + 8,72sin(3ωt + 117,6°) À;

i = 12 + 11,9sin(ωt + 35,8°) + 7,82sin(3ωt + 99°) À; u = 72 + 105,5sin(ωt + 47,35°) + 57,2sin(3ωt + 85,2°) Â.

Определяем действующие значения токов и напряжения на

169