СБОРНИК ЗАДАЧ
.pdf
Ð è ñ . 2 . 5 3 Ð è ñ . 2 . 5 4 Ð è ñ . 2 . 5 5
части цепи. Как должна измениться частота напряжения источника, чтобы ток в неразветвленной части цепи стал равным нулю?
Задача 2.73. Â öåïè (ðèñ. 2.55) U = 220 Â, XL = 220 Îì, R = 220 Îì, XC = 110 Ом. Определить токи I, I1, IL, IR , IC и построить векторную диаграмму. Рассчитать активную, реактивную и полную мощности цепи.
Задача 2.74. Катушка индуктивности и конденсатор соединены параллельно. Ток конденсатора 6 А, ток в неразветвленной части цепи 8 А. Определить ток катушки индуктивности, если в цепи имеет место резонанс токов.
Задача 2.75. В сеть напряжением U = 220 В включены параллельно двигатель, потребляющий активную мощность Р = 1,1 кВт при cos ϕ = 0,866, и четыре лампы накаливания мощностью по 100 Вт каждая. Определить ток в неразветвленной части цепи и коэффициент мощности всей цепи. Построить векторную диаграмму.
Задача 2.76. Две индуктивные катушки соединены параллель-
но. Параметры катушек: |
R1 = 8 Îì , |
X1 = 15 Îì , |
R2 = 2 Îì , |
X2 = 5 Ом. Определить ток в неразветвленной части цепи при на- |
|||
пряжении источника 220 В. Построить векторную диаграмму. |
|||
Задача 2.77. Â öåïè |
(ðèñ. 2.56) |
U = 120 Â , |
R = 10 Îì , |
XL = 20 Ом . Определить емкостное сопротивление конденсатора, при котором в цепи возникает резонанс. Для резонансного режима рассчитать токи цепи и построить векторную диаграмму.
Задача 2.78. Â öåïè (ðèñ. 2.56) L = 0,1 Ãí, R = 100 Îì, С = 0,8 мкФ. Определить резонансную частоту цепи.
Задача 2.79. Â öåïè (ðèñ. 2.56) XL = 20 Îì, |
|
XC = 50 Ом. Определить активное сопротивле- |
|
ние, при котором в цепи возникает резонанс. |
|
Задача 2.80. Â öåïè |
(ðèñ. 2.56) U = 100 Â , |
R = 20 Îì , XL = 20 Îì , |
XC = 40 Ом . Опреде- |
лить ток неразветвленной части цепи, активную, |
|
реактивную и полную мощности цепи. Построить |
|
векторную диаграмму. |
Ð è ñ . 2 . 5 6 |
|
|
110
Задача 2.81. Â öåïè (ðèñ. 2.56) R = XL = XC. Определить коэффициент мощности цепи. Построить векторную диаграмму.
Задача 2.82. Имеются катушка индуктивности с активным сопротивлением R = 60 Ом и индуктивностью L = 0,1 Гн и конденсатор емкостью C = 10 мкФ. Определить резонансные частоты при последовательном и параллельном соединениях катушки и конденсатора.
Задача 2.83. Реостат сопротивлением R = 1 Ом и конденсатор, емкостное сопротивление которого XC = 2 Ом, включены последовательно в цепь переменного тока. Определить, каковы должны быть сопротивления реостата и конденсатора, чтобы при их параллельном соединении получилась цепь, эквивалентная последовательной.
Задача 2.84. Катушка индуктивности с активным сопротивлением Rê = 60 Ом и индуктивностью L = 20 мГн соединена параллельно с ветвью сопротивлением R = 25 Ом и емкостью С = 100 мкФ. Определить параметры последовательной схемы замещения цепи, если угловая частота переменного тока ω = 1000 с–1.
Задача 2.85. Â öåïè (ðèñ. 2.57) XL = R = XC = 100 Ом. Определить напряжение на входе цепи, если через конденсатор проходит
òîê IC = 1À. |
2.86. |
 |
öåïè |
(ðèñ. |
2.57) |
|
|
|
|
Задача |
|
|
|
||||||
R = 10 Îì, |
XL = 4 Ом. Определить ем- |
|
|
|
|||||
костное сопротивление |
конденсатора, |
|
|
|
|||||
при котором в цепи имеет место ре- |
|
|
|
||||||
зонанс. |
|
|
|
|
|
|
Ð è ñ . |
2 . 5 7 |
|
Задача |
2.87. |
 |
öåïè |
(ðèñ. |
2.57) |
|
|||
|
|
|
|||||||
XL = 8 Îì, |
XC = 10 Ом. Определить ак- |
|
|
||||||
тивное сопротивление резистора, при ко- |
|
|
|||||||
тором в цепи имеет место резонанс. |
|
|
|
|
|||||
Задача |
2.88. |
 |
öåïè (ðèñ. |
2.58) |
|
|
|||
Uab = 100 Â, R1 = 50 Îì, R2 = 100 Îì. Àê- |
|
|
|||||||
тивная мощность цепи P = 300 Âò . Îïðå- |
|
|
|||||||
делить емкостное сопротивление конден- |
|
|
|||||||
сатора. |
|
|
|
|
|
|
Ð è ñ . |
2 . 5 8 |
|
Задача 2.89. Â öåïè (ðèñ. 2.58) R1 |
= |
||||||||
|
|
||||||||
= R2 = 10 Îì. XC = 20 Ом. Рассчитать ком- |
|
|
|||||||
плексное входное сопротивление цепи. |
X0 = 10 Îì, |
R1 = 6 Îì, |
|||||||
Задача |
2.90. |
 |
öåïè |
(ðèñ. 2.59) |
|||||
X1 = 8 Îì, |
X2 = 12,5 Îì. |
Определить комплексное входное со- |
|||||||
противление цепи. Построить векторную диаграмму токов и напряжений цепи.
111
|
Ð è ñ . 2 . 5 9 |
Ð è ñ . 2 . 6 0 |
|
Задача |
2.91. Â öåïè |
(ðèñ. 2.59) Uab = 100 Â, |
X0 = 10 Îì, |
R1 = 6 Îì, |
X1 = 8 Îì, X2 = 12,5 Ом. Определить входное напря- |
||
жение цепи. |
|
|
|
Задача 2.92. Мостовая цепь, питаемая переменным током, ис- |
|||
пользуется для измерения параметров конденсатора (рис. 2.60). |
|||
Äàíî: R1 = 1 êÎì, R2 = 2 êÎì, R0 = 12 êÎì, C0 = 1,2 мкФ. Опреде- |
|||
лить параметры последовательной схемы замещения конденсатора |
|||
(Rх è Cх) при нулевом показании вольтметра. |
|
||
Задача 2.93. Для цепи, приведенной на рис. 2. 61, составить в |
|||
общем виде системы уравнений с целью определения токов ветвей |
|||
|
|
методами непосредственного при- |
|
|
|
менения законов Кирхгофа, кон- |
|
|
|
турных токов и узловых потенци- |
|
|
|
алов (двух узлов). |
|
|
|
Задача 2.94. Две индуктивно |
|
|
|
связанные катушки включены по- |
|
|
|
следовательно в сеть переменного |
|
|
|
тока напряжением 220 В. При этом |
|
|
|
по катушкам проходит ток 2,2 А. |
|
Ð è ñ . 2 . 6 1 |
Параметры катушек: R1 = 20 Îì, |
||
|
|
ωL1 = 18 Îì, R2 = 40 Îì, ωL2 = |
|
= 34 Ом. Определить сопротивление взаимной индуктивности ка- |
|||
тушек и характер их включения (встречный или согласный). По- |
|||
строить векторную диаграмму тока и напряжений. |
|
||
Задача 2.95. Две индуктивно связанные катушки включены по- |
|||
следовательно в сеть переменного тока напряжением 220 В. Параме- |
|||
тры катушек: R1 = 10 Îì, ωL1 = ωL2 = 15 Îì, R2 = 20 Îì, ωM = 5 Îì. |
|||
Определить напряжение на каждой из катушек при их согласном |
|||
включении. Построить векторную диаграмму. |
|
||
Задача 2.96. Цепь (рис. 2.62) применяется для измерения вза- |
|||
имной индуктивности двух катушек. Амперметр показал ток 10 А. |
|||
112
Электростатический вольтметр, измеряющий ЭДС, показал 31,4 В. Определить взаимную индуктивность катушек, если частота тока равна 50 Гц.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ð è ñ . 2 . 6 2 |
Ð è ñ . 2 . 6 3 |
|
|
|||||||||||||
Задача 2.97. На рис. 2.63 показана схема воздушного трансформатора, нагруженного активной нагрузкой Rí = 70 Ом. Остальные параметры цепи: R1 = 30 Îì, ωL1 = 40 Îì, R2 = 10 Îì, ωL2 = 80 Îì, ωM = 50 Ом. Напряжение U1 = 100 В. Одноименные зажимы катушек обозначены точками. Определить показание амперметра. Построить векторную диаграмму.
Ответы к контрольным задачам
2.46.2,23 ìñ. 2.47. i = 2sin(314t + π
3) À. 2.48. i = 14,1sin(314t – 37°) À.
2.49.R = 12 Îì, XL = 16 Îì. 2.50. 0,277. 2.51. 8 Îì. 2.52. I = 10 À, P = 800 Âò, Q = 600 âàð, S = 1000 ·À. 2.53. 55,3 ìÀ, 176 Â, 44 Â. 2.54. u = 68,3sin(314t + 60 ) Â.
2.55.0,83. 2.56. 5,5 ìêÔ. 2.57. L = 9,55 ìÃí, C = 132 ìêÔ. 2.58. 3 À, 30 Â,
45 âàð. 2.59. 0; 160 Âò. 2.60. R = 5 Îì, XL = 8,66 Îì. 2.61. 220 Âò. 2.62. 71,3 Ãö, 20,3 ìêÔ. 2.63. 200 Â. 2.64. 11 À. 2.65. 236 Â. 2.66. 0,51. 2.67. Zë = 1 + j1,33 Îì.
2.68.à) Z = 12+ j16 Îì, S = 300 + j400 Â À; á) Z = 12 – j16 Îì, S = 300 +
+ j400  À. 2.69. 1,1–j4 Îì, 11 êÂò. 2.70. ∞, 12, 6,93 Îì. 2.71. 1,41 À, i = = 2sin(314t + 45°) À. 2.72. 1,1 А, увеличится в √2 раз. 2.73. I1 = 2,24 À, I = 1,41 À, P = 220 Âò, Q = 220 âàð, S = 311 ·À. 2.74. 10 À. 2.75. I = 7,4 À, 0,921. 2.76. 53,75 À.
2.77. 25 Îì, I = 1,4 À, IRL = 5,37 À, Iñ |
= 4,8 À. 2.78. 540 |
Ãö. 2.79. 24,5 Îì. 2.80. |
|||
I = 2,5 À, P = 250 Âò, Q = 0, S = 250 ·À. 2.81. 0,707. 2.82. ω = 1000 c–1; |
|||||
ω = 800 c–1. 2.83. R′ = 5 Îì, |
X ′ = |
2,5 Îì . 2.84. R = |
1 |
= 7,17 Îì. |
|
14,9 Îì, X |
L |
||||
2 |
C |
|
|
|
|
2.85. 100 Â. 2.86. XC1 = 20 Îì, XC2 = 5 Îì. 2.87. 20 Îì. 2.88. 57,7 Îì. 2.89. (18 –
– j4) Îì. 2.90. (16,7 + j10) Îì. 2.91. 117 Â. 2.92. Cх = 2,4 ìêÔ, Rх = 6 Îì. 2.94. 14 Îì. 2.95. U1 = 98,4 Â, U2 = 124 Â. 2.96. 10 ìÃí. 2.97. 0,854 À.
113
3. ТРЕХФАЗНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
Задачи с решениями
Задача 3.1. В симметричной трехфазной цепи (рис. 3.1, а) линейное напряжение Uë = 380 Â, R = 30 Îì, XL = 40 Ом. Определить токи, активную, реактивную и полную мощности цепи: 1) в нормальном режиме работы; 2) при обрыве в фазе А.
Ðè ñ . 3 . 1
Ðå ø å í è å . 1. Нормальный режим. Фазные напряжения приемника, соединенного звездой,
Ua = Ub = Uc = Uô = Uë
3 = 380
3 = 220 В. Полное сопротивление фаз приемника
Z = R2 + XL2 = 302 + 402 = 50 Îì.
Токи равны:
Ia = Ib = Ic = Uô
Z = 220
50 = 4,4 À.
Токи отстают по фазе от создающих их фазных напряжений на угол
ϕa = ϕb = ϕc = ϕ = arccosR = arccos3 = 53°
Z 5
114
и образуют симметричную систему, поэтому в нейтральном проводе ток
|
I N = I a + I b + I c = 0. |
||
Находим мощности: |
|
|
|
P = |
3UëIëcosϕ = |
3 380 4,4 0,6 = 1750 Âò; |
|
Q = |
3UëIësinϕ = |
3 380 4,4 |
0,8 = 2340 âàð; |
|
S = 3UëIë = |
P2 + Q2 = |
2900 Â À. |
Векторная диаграмма для симметричного режима представлена на рис. 3.1, б.
2.Обрыв в фазе А. Поскольку имеется нейтральный провод, то
âрежимах работы фаз В è С изменений не произойдет, т.е.
Ib = Ic = 4,4 À; Ia = 0 À; ϕb = ϕc = ϕ = 53°.
Определяем мощности:
P = Pb + Pc = 2UôIôcosϕ = 2 220 4,4 0,6 = 1161 Âò;
Q = Qb + Qc = 2UôIôsinϕ = 1549 âàð;
S = P2 + Q2 = 1936 ·À.
В нейтральном проводе ток
I N = I a + I b + I c = 0 + I b + I c.
Из векторной диаграммы (рис. 3.1, в) находим: IN = 4,4 À. Задача 3.2. В четырехпроводной трехфазной цепи (рис. 3.2, а)
Rа = 6 Îì, Xа = 8 Îì, Rb = 12 Îì, Xb = 16 Îì, Rc = 5 Ом. Линейное
напряжение Uë = 380 В. Определить токи и мощность цепи. Р е ш е н и е . Полные сопротивления фаз приемника:
Z |
a |
= |
R |
2 + X 2 |
= 10 Îì; Z |
b |
= |
R |
2 + X 2 |
= 20 Îì; |
|
|
a |
a |
|
|
b |
b |
|
Zc = Rc = 5 Îì.
115
Ð è ñ . 3 . 2
Фазные напряжения генератора и приемника равны:
UА = UВ = UС = Ua = Ub = Uc = Uô = Uë
3 = 220 В. Определяем токи:
Ia = |
Ua |
= 22 À; Ib = |
Ub |
= 11 À; Ic |
= |
Uc |
= 44 À. |
|
Za |
Zb |
Zc |
||||||
|
|
|
|
|
Коэффициенты мощности фаз: cosϕa = Ra
Za = 0,6 ( ϕa >0 , ток отстает от напряжения на угол ϕa ); cosϕb = Rb
Zb = 0,6 ( ϕb < 0 , ток опережает напряжение); cosϕc = 1 (ток совпадает по фазе с напряжением).
Ток в нейтральном проводе I N = I a + I b + I c определяем графи- чески на основании векторной диаграммы (рис. 3.2, б). Èç íåå ïîëó- ÷àåì: IN = 11 À.
Вычисляем мощности фаз:
Pa = UaIacosϕa = 2904 Âò;
Pb = UbIbcosϕb = 1452 Âò; Pc = UcIccosϕc = 9680 Âò;
Qa = UaIasinϕa = 3872 вар (характер индуктивный);
Qb = UbIbsinϕb = −1936 вар (характер емкостный); Qc = 0.
Реактивная мощность цепи Q = Qa + Qb = 3872 − 1936 = 1936 вар (характер индуктивный). Активная мощность цепи
116
P = Pa + Pb + Pc |
= 2904 + 1452 + 9680 = 14 036 Âò. |
Полная мощность цепи |
|
S = P2 + Q2 |
= 14 0362 + 19362 = 14 130 ·À. |
Выполняем расчет комплексным методом. Находим комплексные сопротивления фаз:
|
|
|
Z |
a |
|
= R + jX |
a |
= 6 + j8 = 10e j53 |
Îì; |
||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
||
Z |
b |
= R |
− jX |
b |
= 12 − j16 = 20e− j53 |
Îì; Z |
c |
= R = 5 Îì. |
|||
|
b |
|
|
|
|
|
|
c |
|||
Записываем комплексные фазные напряжения (считаем комплекс U a вещественной величиной):
U a = Uôe j0 = 220 Â;
U b = Uôe− j120 = 220e− j120 = 220(cos120 − jsin120 ) = −110 − j190 Â;
|
U |
c = Uôe j120 = 220e j120 |
= 220(cos120 + jsin120 ) = −110 + j190 Â. |
|||||||||||
|
||||||||||||||
Рассчитываем комплексные токи: |
||||||||||||||
|
|
I a |
= |
|
U |
a |
|
= 22e− j53 |
= 13,2 − j17,6 À; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Za |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
I b |
|
= |
U |
b |
|
= 11e− j67 |
= 4,29 − j101, À; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
Zb |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
I c |
= |
|
U |
c |
= 44e j120 |
= −22 + j38 À; |
||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
Zc |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
I N |
= I a + I b + I c = −4,51 + j10,3 = 112,e j114 |
À. |
||||||||
Вычисляем комплексные мощности фаз и цепи: |
|
|
|||||||||||
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Sa = |
U |
a I a = 220 22e j53 |
|
= |
4840e j53 = 2904 + j3872 Â À; |
||||||||
|
|
||||||||||||
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Sb = |
U |
b I b = |
220e− j120 |
|
11e j67 |
|
= 2420e− j53 = 1452 |
− j1936 Â À; |
|||||
|
|
|
|||||||||||
117
S |
|
= U |
|
* |
|
= |
220e j120 |
|
44e− j120 |
|
= 9680 Â À; |
|||
c |
c |
I |
c |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
= 14 036 + j1936 = 14 130e j7,8 |
|
|||||||
S = S |
a |
+ S |
b |
+ S |
c |
 À. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Находим активную, реактивную и полную мощности цепи: P = = 14 036 Âò; Q = 1936 вар (характер индуктивный); S = 14 130 Â À.
Задача 3.3. Â öåïè (ðèñ. 3.3, а) Uë = 220 Â, R = 6 Îì, XL = 8 Ом. Определить токи и мощности трехфазной цепи: 1) в симметрич- ном режиме; 2) при обрыве линейного провода фазы А; 3) при коротком замыкании фазы А.
Р е ш е н и е . 1. В симметричном режиме фазные напряжения питающей сети и приемника совпадают, т.е.:
U A = U a; U B = U b; UC = U c;
Ð è ñ . 3 . 3
118
Ua = Ub = Uc = Uë
3 = 127 Â.
Записываем в комплексной форме фазные напряжения приемника (полагаем U a вещественной положительной величиной):
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
a |
= Uôe j0 = 127 Â; |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
U |
b |
= Uôe− j120 |
= 127e− j120 = −63,5 − j110 Â; |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
U |
c |
= Uôe j120 |
= 127e j120 |
= −63,5 + j110 Â. |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Рассчитываем токи: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
I |
a |
= U |
a |
Z |
a |
= 127 (6 + j8) = 127 10e j53 |
= 12,7e− j53 |
À; |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
= 12,7e− j173° À; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 12,7e j67 |
|
|
||||||||||
I |
b |
= U |
b |
Z |
b |
I |
c |
= U |
c |
Z |
c |
À. |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Определяем мощности: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
3 127 12,7å j53 |
|
|
S = P + jQ = Sa + Sb + Sc = 3Sa |
= |
3 |
U |
a I a |
= |
= |
||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= 4800å j53 |
= 2900 + j3850 Â À, |
|
|
|||||||||||||||
откуда активная мощность P = 2900 Вт, реактивная Q = 3850 вар, полная S = 4800 Â À.
2. При обрыве линейного провода фазы А Za = ∞ и напряжение смещения нейтрали приемника
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
U |
A + |
|
1 |
|
U |
B |
+ |
|
1 |
|
U |
C |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
U |
nN = |
Za |
|
|
|
|
Zb |
|
|
Zc |
= |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
+ |
1 |
+ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Za |
|
|
|
|
Zc |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Zb |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1 |
|
|
|
|
127e− j120 |
|
+ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
127e j120 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
= |
10e j53 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10e j53 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −63,5 Â. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
10e j53 |
|
|
10e j53 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Вычисляем фазные напряжения и токи приемника: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
U |
a = 0; |
U |
An = |
U |
A − |
U |
nN |
= 190,5 Â; |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
119