Пример решения задания 3

Задание. Решить задание 3 для случая, с ограничением передаваемой по линии мощности.

Исходные данные. Аналогичны заданию 3, но передаваемая мощность по линии x₁₃ ограничена величиной 20 е.м.

Математическая модель. Аналогична заданию 3, только необходимо учесть пропускную способность линии.

Метод решения. Ограничение пропускной способности в транспортной задаче учитывается следующим образом:

• Столбец j транспортной матрицы, отвечающий потребителю мощностью B_j, разбивается на два столбца или на два условных потребителя с мощностями и, гдеS – мощность, которую допустимо передать по линии;

• Для переменной между источником i и потребителем осуществляется блокировка передачи мощности, т.е. для этой переменной принимается очень большой показатель удельной стоимости.

В остальном решение транспортной задачи ничем не отличается от предыдущего случая.

Решение. Согласно методике решения разбиваем столбец на два и в исходные данные добавляем ограничение по мощности и удельную стоимость транспортировки для передачи сверх допустимой мощности. Общий вид листа представлен на рисунке 15.

Рис. 14. Общий вид листа расчета

Согласно методу решения вводим соответствующие изменения в транспортную матрицу задания 3 (рис. 16).

Рис. 15. Формулы транспортной матрицы задания 4

Вид окна расчета с помощью надстройки «Поиск решений» представлен на рисунке 17.

Рис. 16. Параметры расчета надстройки «Поиск решений»

Решение получилось аналогичным заданию 3 поскольку мощность, передаваемая по линии с ограничением мощности, итак была ниже допустимой.

Пример решения задания 5

Задание. Найти оптимальную схему электрической сети для задания 3.

Исходные данные:

• Схема электроснабжения района представлена на рисунке 11, при этом возможны любые конфигурации топографии сети.

• A₁, А₂ – мощности источников, е.м.;

• B₃, B₄, B₅ – мощности потребителей, е.м.;

• Удельные затраты на передачу мощностей по линиям между узлами источников и потребителей представлены в матрице z;

• Удельная стоимость передачи транзитной мощности z_ii = 0.

Математическая модель. Необходимо найти оптимальное распределение мощностей от источников к потребителям, т.е. составить транспортную матрицу, оптимальную схему электроснабжения, целевая функция при этом имеет вид:

,

То есть, необходимо, чтобы сумма членов перемноженных матриц (транспортной матрицы и матрицы удельных затрат на транспортировку) была минимальной.

Ограничениями будут балансы мощностей во всех узлах, необходимо транзитные мощности должны быть неположительными (диагонали транспортной матрицы), передаваемые мощности положительными.

Метод решения. Для построения оптимальной схемы электроснабжения следует учитывать возможность передачи мощности через промежуточные (транзитные) узлы. Такими транзитными узлами могут быть как узлы источников питания, так и узлы потребителей. Транзитную мощность будем записывать в ячейки диагонали транспортной матрицы, соответствующую номеру узла, через который она протекает.

При решении транспортных задач с транзитом мощности с количеством источников n и количеством потребителей m всем узлам схемы присваивается единая нумерация 1, 2, … (n + m).

Для решения необходимо составить транспортную матрицу, размер стороны которой будет n+m.

Решать задачу будем с помощью надстройки «Поиск решений», учитывая все необходимые ограничения и точности.

Решение. Исходные данные для расчета:

A1		A2		B3		B4		B5
10		80		35		10		45
12	13	14	15	23	24	25	34	35	45
0,2	2,3	1,6	1	2	1,4	1,5	0,5	1,9	0,6

Стоимость передачи мощности между узлами i и j не зависит от направления этой мощности, поэтому стоимость передачи мощности например от узла 1 к узлу 2 равна стоимости передачи мощности от узла 2 узлу 1.

В связи с особенностями работы Excel необходимо выделить из транспортной классической матрицы матрицу стоимости передачи мощности, учтем все вышесказанное:

z	1	2	3	4	5
1	0	0,2	2,3	1,6	1
2	0,2	0	2	1,4	1,5
3	2,3	2	0	0,5	1,9
4	1,6	1,4	0,5	0	0,6
5	1	1,5	1,9	0,6	0

Внесем все необходимые данные на лист Excel (рис. 18).

Рис. 17. Общий вид листа расчета

В лист были внесены следующие формулы:

Рис. 18. Формулы листа задания 5

Настройки надстройки «Поиск решений» показаны на рис. 19-20.

Рис. 19. Настройки для задания 5 «Условия расчета»

Рис. 20. Настройки для задания 5 «Точность расчета»

Стоит отметить, что необходимо установить большую точность проведения расчетов, иначе оптимальное решение может быть не найдено.

Решением задачи будет:

	1	2	3	4	5
1	-5	0	0	0	45
2	5	0	0	45	0
3	0	0	0	0	0
4	0	0	20	-20	0
5	0	0	0	0	0

При таком распределении мощностей значение целевой функции 119,5, что меньше чем в предыдущей задаче, рассчитанной без учета возможности транзита мощности.