3.5. Приближенные вычисления по способу границ

Наилучшимв смысле строгости из известных способов приближенных вычислений являетсяспособ границ. Пользуясь этим способом, по известным верхним и нижним границам данных чисел, находятотдельно верхнюю и нижнюю границырезультата.

Например, надо сложить два числа:

х ≈ 3,2 (0,05)и y ≈ 7,9 (0,05).

Имеем: 3,15< х < 3,25;

7,85 < y < 7,95;

откуда 11,00< х + y < 11,20.

Итак, х + y ≈ 11,1 (0,1).

Вообще, нижняяграницасуммыприближенных чисел равна сумме нижних границ слагаемых, аверхняя– сумме верхних границ слагаемых. Символически это можно записать так:

НГ(х + y) = НГх + НГy; ВГ(х + y) = ВГх + ВГy.

Аналогичные правила справедливы для умножения:

НГ(хy) = НГх ^х НГy; ВГ(хy) = ВГх ^х ВГy.

Для обратных действий – вычитанияиделения- соответствующие правила имеют такой вид:

НГ(х - y) = НГх - ВГy; ВГ(х - y) = ВГх - НГy.

НГ(х / y) = НГх / ВГy; ВГ(х /y) = ВГх / НГy.

Из определения НГиВГвытекают также следующие правила:

1) округлятьНГможно толькопо недостатку, аВГ – по избытку;

2) чем меньше разность ВГх – НГх, тем точнее определяетсях;

в качестве приближенного значения хрекомендуется братьсреднее арифметическоечиселНГхиВГхили число, близкое к нему.

Применение способа границ рассмотрим на примере.

Пример. Найти значение

если а ≈ 9,21 (0,01); b ≈ 3,05 (0,02), с ≈ 2,33 (0,01).

Решение. Определяем НГ и ВГ каждого из чисел а, b, с и, выполнив над ними соответствующие действия, находим НГ и ВГ числа х.

Запись удобно оформить в виде такой таблицы [12].

Компоненты	НГ	ВГ
а	9,20	9,22
b	3,03	3,07
с	2,32	2,34
а - b	6,13	6,19
(а - b) с	14,22	14,49
a + b	12,23	12,29
х	1,15	1,19

НГ(а - b) = НГa – ВГb =

= 9,20 – 3,07 = 6,13;

НГ(а + b) = НГa + НГb =

= 9,20 + 3,03 = 12,23;

1,15 < х < 1,19;

1,15+1,19=2,34;

1,19-1,15=0,04;

2,34:2 = 1,17;

0,04:2= 0,02; х ≈ 1,17(±0,02).

Закрепим пройденный учебный материал.

Необходимо соблюдать правила обращения со значащими цифрами [11].

Как уже отмечалось, значащими цифрамив числах принято называть все цифры1, 2, 3,…9, в такженуль, но только в тех случаях, когда он стоит в середине или в конце числа; если же нули стоят в десятичной дробис левой стороныдля указания разряда остальных цифр, то они значащими не являются. Так, в дробях1,017; 0,17; 0,017и 0,0017перваяиз них имеетчетырезначащие цифры, атри последние–подве значащиецифры. Это станет ясным, если три последние дроби написать в таком виде:17 ^. 10^-2,17 ^. 10^-3 и17 ^. 10^-4.

Следует твердо помнить, что сохранение большого количества значащих цифр (превышающего точность определения) характеризует не точность результатов, а лишь неумение исполнителя обращаться с результатами измерений.

При расчетах всегда необходимо учитывать точность, с которой ведутся измерения физико-химических величин. Одной из грубейших и часто встречающихся ошибокпри вычислениях являетсяизлишняя, неоправданнаяточность вычислений.

Например, массаmвещества определена на технических весах с точностьюдо 0,01 г, а объемWизмерен мензуркой с точностьюдо 0,1 мл. При этом получено:

m = 28,34 г; W= 8,4 мл.

При определении плотности ρ нет надобности в делении с точностью до четвертого знака, например:

ρ = 28,34 / 8,4 = 3,3738, нужно ρ = 28,34 / 8,4 = 3,4.

При математических операциях с величинами, измеренными с разной точностью, необходимо строго придерживаться следующихправил:

1. Число знаков в результате, полученном при опыте, должно указывать на точность измерения, причем предпоследний знак должен быть точным, а последний – приближенным.

Например, из ряда наблюдений определено среднее значение плотностиρ = 0,9345 г/см³, квадратическая ошибка среднего составляет 0,0024 (две значащие цифры). Следовательно, уже третья цифра является приближенной, и должен получитьсяответ

ρ = 0,9345 0,002 г/см³.

2. При арифметических действиях над приближенными числами поступают следующим образом:

а) присложении (и вычитании)сохраняют после запятой столько значащих цифр, сколько их имеется в числе, измеренном снаименьшейточностью;

б) приумножении и делениисохраняют столько значащих цифр, сколько их имеется в числе, измеренном снаименьшейточностью;

в) привозведении в степень и извлечении корнясохраняют в результате столько значащих цифр, сколько их имеется в возводимом в степень или подкоренном числе;

г) прилогарифмировании в результате вычисления сохраняют в мантиссе столько значащих цифр, сколько имеется их в логарифмируемом числе.

Например, при сложении чисел0,284; 25,86и3,5894 необходимо оставить в каждом числедва знакапосле запятой:

0,28+25,86+3,59 = 29,73.

Для приведенного ранее примера определения плотности в результате измерения следует оставить только двезначащие цифры:

ρ = 28,34 / 8,4 = 3,4.

Вычисляя это выражение с помощью логарифмов, следует записать:

lgρ = lg 28,34 - lg 8,4 = 1,45 – 0,92 = 0,53. ρ = 3,4.

Очевидно, что проводить арифметические действия по указанному выше правилу необходимо только до получения цифры, оставляемой по правилу знаков(подсчета цифр).

3. Приокругленииприближенных чисел или результатов действий над ними различаютдва случая:

а) если отбрасывается цифра меньше5, то предшествующая, остающаяся в результате цифра, не изменяется;

б) если отбрасываемая цифра равна или больше5, то остающуюся в результате цифру увеличивают на единицу.

При записях результатов необходимо следить за тем, чтобы все числовые значения были приемлемы по порядку величины.

Например, 2,05; 2,06; 2,10; 2(неверно); 2,00; 2,3(неверно); 2,30; 2,411(неверно);2,41 [11].