3.4. Приближенные вычисления с помощью правил подсчета цифр

Различают вычисления: 1) со строгим учетом погрешностей и2) без строгого учета. В менее ответственных вычислениях с приближенными числами пользуютсявторымспособом, основанным на так называемыхправилах подсчета цифр.

В этих правилах используют понятия: 1) десятичных знаков,2) значащих цифр,3) точных и сомнительных цифр.

1) Напомним, чтодесятичными знакамичисла называют все его цифры, стоящиеправеезапятой.Например, числа 3,5и 3,05имеют соответственно один и два десятичных знака.

2) Значащими цифрами числа называют все его цифры, начинаяс первой слеваотличнойот нуля, кроме нулей, стоящих в конце записи числа на месте отброшенных при округлении цифр (как уже отмечалось, эти нули обычно подчеркивают или пишут меньшими).

Примеры: В числе3,5– две значащие цифры, в числе 0,0307– три значащие цифры. В числе35000, полученном в результате округления до тысяч, две значащие цифры.

3) Если граница абсолютной погрешности приближенного числа равна половине единицы разряда последней его цифры, то все цифры этого числа называютточными. Если же эта граница больше половины единицы разряда последней цифры числа, то последняя цифра такого числа называетсясомнительной.

Примеры. В числе 2,06 (0,005)цифры2, 0 точные, а6 - сомнительная. В числе 2,06 (0,01)цифры2, 0 точные, а6 - сомнительная. В числе 35 000, полученном в результате округления до тысяч, цифры3 и 5 точные, авсе три нуля - сомнительные.

Правила подсчета цифртесно связаны с принципом А.Н.Крылова (1863-1945):Приближенное число следует писать так, чтобы в нем все значащие цифры, кроме последней, были верны и лишь последняя цифра была бы сомнительна и при этом не более как на одну единицу.

Например, если приближенное число записано:х ≈ 3,72; то это значит, что оно задано с точностьюдо сотых, т.е. х ≈ 3,72 (0,01). Если же известно, чтох ≈ 3,72 (0,02) то, согласно принципу А.Н. Крылова, его надо написать так:х ≈ 3,7.

Вычисления с приближеннымичислами, записанными таким способом, выполняют как над точными числами, но, придерживаясь таких правил.

Правила подсчета цифр.

1. При сложении и вычитании приближенных чисел в результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их в приближенном данном с наименьшим числом десятичных знаков.

Пример. Найтисуммуприближенных чисел127,42; 67,3; 0,12 и 3,03.

Решение. 127,42 + 67,3 + 0,12 + 3,03 = 197,87 ≈ 197,9.

Пример. Найтиразность чисел: 418,7 и 39,832.

Решение 418,7 - 39,832 = 378,87≈ 378,9.

2) При умножении и делении приближенных чисел впроизведениинадо сохранить столько значащих цифр, сколько их есть в данном числес наименьшим количеством значащих цифр.

Пример. Умножить приближенные числа3,4и 12,32.

Решение. 3,4х12,32= 41,888≈ 42.

Задача. Площадь прямоугольного участка приближенно равна7,6 м², ширина – 2,38 м. Чему равна его длина?

Решение. Длина равна частному от деления 7,6на 2,38.

L = 7,6 / 2,38 = 3,19≈ 3,2 м.

Последнюю цифру частного 9можно было и не писать, а, получив в частном две значащие цифры, заметив, что остаток больше половины делителя, округлить частное с избытком.

3) При возведении приближенных чисел в квадрат и куб в результате сохраняется столько значащих цифр, сколько ихв основании.

Примеры. 2,3² = 5,29≈ 5,3. 0,8³ = 0,512 ≈ 0,5.

4) Впромежуточных результатах следует братьодной цифрой больше, чем рекомендуют предыдущие правила.

5) Если некоторые данные имеют больше десятичных знаков (при действиях первой ступени) или больше значащих цифр (при действиях 2-й и 3-й ступеней), чем другие, то предварительно их следуетокруглить, сохраняя лишь одну запасную цифру.

6) Если данные можно брать с произвольной точностью, то для получения результата сkцифрами данные следует брать с таким числом цифр, которое даёт согласно правилам1-4«k + 1»цифру в результате.

Применение правил.

Применение правил подсчета цифр рассмотрим на примере.

Пример. Найти значениех = [(a – b) c]/(a + b), a ≈ 9,31; b ≈ 3,1; c ≈ 2,33.

Решение. a – b = 9,31 – 3,1 = 6,21;

(a – b) c = 6,21 х 2,33 ≈ 14,5;

a + b = 9,31 + 3,1 = 12,4;

х = 14,5 / 12,4 ≈ 1,2.

Ответ. х ≈ 1,2.

Примечание. Сформулированные ранее правила подсчета цифр имеютвероятностныйсмысл: они более вероятны, хотя существуют примеры, не удовлетворяющие этим правилам. Поэтому вычисления способом подсчета цифр –самый грубыйспособ оценки погрешности результатов действий. Однако он оченьпрост и удобен, а точность таких вычислений вполне достаточна для большинства технических расчетов. Поэтому этот способшироко распространенв вычислительной практике.

В более ответственных вычислениях пользуются способом границ или способом граничных погрешностей.