3.2. Округление

Одним из источников получения приближенных чисел является округление. Округляют как точные, так и приближенные числа.

Округлением данного числа до некоторого его разряда называют замену его новым числом, которое получается из данного путемотбрасываниявсех его цифр, записанныхправеецифры этого разряда, или путем замены его нулями. Этинули обычноподчеркивают или пишут их меньшими. Для обеспечения наибольшей близости округленного числа к округляемому следует пользоваться такимиправилами:

чтобы округлить число до единицы определенного разряда, надо отбросить все цифры, стоящие после цифры этого разряда, а в целом числе заменить их нулями. При этом учитывают следующее:

1) если первая (слева) из отбрасываемых цифрменее 5, то последнюю оставленную цифру не изменяют (округление снедостатком);

2) если первая отбрасываемая цифрабольше 5 или равна 5, то последнюю оставленную цифру увеличивают на единицу (округление сизбытком).*

Например:

Округлить:Ответы:

а) до десятых 12,34; 12,34 ≈ 12,3;

б) до сотых 3,2465; 1038,785; 3,2465 ≈ 3,25; 1038,785 ≈ 1038,79;

в) до тысячных 3,4335; 3,4335 ≈ 3,434;

г) до тысяч 12 375, 320 729. 12 375 ≈ 12000; 320 729 ≈ 321 000.

(* Несколько лет назад в случае отбрасывания одной лишь цифры 5пользовались «правилом четной цифры»: последнюю цифру оставляли без изменения, если она четная, и увеличивали на единицу, если нечетная. Теперь «правила четной цифры»непридерживаются: если отбрасывают одну цифру5, то к последней оставленной цифре добавляют единицу не зависимо от того, четная она или нечетная).

3.3. Абсолютная и относительная погрешность приближенного значения величин

Абсолютное значение разностимежду приближенным и точным (истинным) значением величины называетсяабсолютной погрешностьюприближенного значения.Например, если точное число1,214округлить до десятых, то получим приближенное число1,2. В данном случае абсолютная погрешность приближенного числа составит1,214 – 1,2 = 0,014.

Но в большинстве случаев точное значение рассматриваемой величины неизвестно, а только приближенное. Тогда и абсолютная погрешность неизвестна. В этих случаях указывают границу, которую она не превышает. Это число называютграничной абсолютной погрешностью. Говорят, что точное значение числа равно его приближенному значению с погрешностью меньшей, чем граничная погрешность.Например, число23,71есть приближенное значение числа23,7125с точностью до0,01, так как абсолютная погрешность приближения равна0,0025и меньше0,01. Здесь граничная абсолютная погрешность равна0,01.*

(* Абсолютнаяпогрешность бывает и положительной и отрицательной.Например,1,68 ≈ 1,7. Абсолютная погрешность равна1,68 – 1,7 ≈ - 0,02.Граничнаяпогрешность всегда положительна).

Граничную абсолютную погрешность приближенного числа «а» обозначают символомΔа. Запись

х ≈ а (Δа)

следует понимать так: точное значение величины хнаходится в промежутке между числамиа +Δаи а –Δа, которые называют соответственнонижнейиверхней границейх и обозначаютНГхиВГх.

Например, еслих ≈ 2,3 (0,1),то2,2 < х < 2,4.

Наоборот, если 7,3 < х < 7,4, тох ≈ 7,35 (0,05).

Абсолютная или граничная абсолютная погрешность нехарактеризуют качество выполненного измерения. Одна и та же абсолютная погрешность может считаться значительной и незначительной в зависимости от числа, которым выражается измеряемая величина.

Например, если измеряем расстояние между двумя городами с точностью до одного километра, то такая точность вполне достаточна для этого измерения, в то же время при измерении расстояния между двумя домами одной улицы такая точность будет недопустимой.

Следовательно, точность приближенного значения величины зависит не только от величины абсолютной погрешности, но и от значения измеряемой величины. Поэтому мерой точности служит относительная погрешность.

Относительной погрешностью называется отношение абсолютной погрешности к величине приближенного числа. Отношение граничной абсолютной погрешности к приближенному числу называютграничной относительной погрешностью; обозначают её так:Δа/а. Относительную и граничную относительную погрешности принято выражатьв процентах.

Например, если измерения показали, что расстояние между двумя пунктами больше12,3 км, но меньше12,7 км, то заприближенное значение его принимаютсреднее арифметическоеэтих двух чисел, т.е. ихполусумму, тогдаграничнаяабсолютная погрешность равнаполуразностиэтих чисел. В данном случаех ≈ 12,5 (0,2).Здесь граничнаяабсолютнаяпогрешность равна0,2 км, а граничнаяотносительная:

0,2/12,5 = 0,016 = 1,6 %.