M05097
.pdf
б)
в)
17.а)
б)
в)
18.а)
б)
в)
19.а)
б)
в)
20.а)
б)
в)
z = y2 , x
z = 13 
(x2 + y2 )3 ,
z = xx +- yy ,
æ x2 ö z = arcsinçç ÷÷,
è y ø z = ctg
xy3 ,
z = arcsin 
xy, z = xy - xy ,
z = ln(
xy -1),
z = e−
x2+ y2 ,
z = 
x2 + y + 3, z = arccos(x - y2 ),
|
|
|
æ |
|
|
x |
4 ö |
|||
z = arctg |
ç |
|
|
|
÷ |
|||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
ç |
|
|
y |
2 ÷ |
|||
|
|
|
è |
|
|
|
ø |
|||
|
|
|
æ |
|
|
x |
ö |
|||
|
|
|
ç |
|
|
|
÷ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
z = arcsinç |
|
|
|
÷, |
||||||
|
|
|
è |
|
2y ø |
|||||
z = sin |
x |
, |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
||
81
x= arctg2t,
y= x4 + 3x2
x= u3v - 3uv3 ,
x= cos3t,
y= sin x2
x = lnv2u ,
x= t3 ,
y= x
x3
x = ln(u2 - v2 ),
x= ln t,
y= tgx3
x = u3 - v3 ,
x= tg2t,
y= ex2
y = |
1 |
|
t 2 +1 |
||
|
y = 3
uv y = sin 2t
y= v3 u2
y = 2t2 +1
y = v3 ×u3 y = t3
y = uv
y = cos 2t
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
21. |
а) |
z = ctg(3x2 - 2y3 ), |
||||||
|
|
|||||||
|
б) |
z = |
x |
, |
|
|
|
|
|
|
y2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
z = sin |
|
3x2 - y3 , |
|||||
22. |
а) |
z = tg(x3 + y2 ,) |
||||||
|
б) |
z = arccos |
y |
, |
||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
2x |
||
в) z = ln(xy - 
xy ),
23.а) z = arctg(y3 - 
x ),
б) |
z = ln(e3x + 2y), |
в) |
z = ex y3 + x2 , |
24.а) z = ln(9 - x2 - y2 ), б) z = arctg(xy),
|
в) |
æ |
y |
2 |
ö |
|
|
|
|||
|
|
z = tgç |
|
÷, |
|
|
|
||||
|
|
|
3 |
||||||||
|
|
ç |
x |
÷ |
|
|
|
||||
|
|
è |
|
ø |
|
|
|
||||
25. |
а) |
z = |
|
|
|
x |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
x2 + y2 |
||||||
|
б) |
z = 3 |
|
|
|||||||
|
xy - 4, |
||||||||||
|
в) z = ln(x3 + y2 x), |
||||||||||
26. |
а) |
z = ex−2 y , |
|
|
|
|
|||||
82
x = sinæ u ö,
ç ÷ è v ø
x = ln2 t,
y = x3 + 4x - 5
x = 3
u3 - v2 ,
x= sin 2t,
y= ex3
y= u2 ×v,
x= t4 ,
y= 3
x2 + 4x
y= uv3 + 2u2 ,
x= t3 + 2,
y= cos(4x2 )
x= ln(u3 + 2v2 ),
x= ln t,
y= sin(x2 )
x= u sin v,
v
y = eu
y = 1t
y = 
v3 + u2
y= tg 2t
x= 
u × v3
y= 4
t
x= cos(u × v)
y= 4 - t2
y = v4 ×u3
y = t3
y = v cosu
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
б) в)
27.а) б)
в)
28.а)
б) в)
29.а)
б)
в)
30.а)
б)
в)
z = z =
z =
z =
z =
z =
z = z =
z =
z =
z =
z =
z =
z =
arcsin(x2 y), ln sin(xy),
y x ,
ex y+x2− y2 ,
x2e y ,
arcsinæ x + y ö,
ç ÷ è x ø
y2ex ,
ex− 2 y ,
æ |
2x |
ö |
|||
ç |
÷ |
||||
|
|
||||
arccosç |
|
y |
÷, |
||
è |
|
ø |
|||
æ y ö |
|
||||
arctgç |
|
|
÷, |
|
|
|
|
|
|||
è x ø |
|
||||
sin(x2 + y3 ),
x2 , y - x
y3 , x2 + y
3
x2 y + 2,
83
x= 
t,
y= tg 2 x
x = u3 - v2 ,
x= ln 2 t,
y= cos 2 (3x)
x = 
u + 
v,
x= cos2 t,
y= x3 - 4x2 +1
x = ln u + v3 ,
x= t 21+1,
y= x2ex
x = eu ×v,
x= 2 + t3 ,
y= ln(x2 - 4x)
y = 3
t
y = 3
u + v y = ln t
y = 
uv y = sin 2 t
y = v ×u 3 y = 1t
y = v2 ×u3
y = t 2 - t
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
84
4.2.7 Знайти рівняння дотичної площини та нормалі до поверхні в заданій точці.
1. |
а) z = x2 + y2 ; x0 = 0 ; |
y0 = 1 , |
|
б) x2 + y 2 − z 2 −1 = 0 ; x0 =1; y0 = 2 . |
|
2. |
а) z = 2x2 − y 2 ; x0 = 1; y0 = 0 , |
|
|
б) x2 − 2y2 + z 2 − 6 = 0 ; x0 = 2 ; y0 = 1. |
|
3. |
а) z = x2 + 3y2 ; x0 = 0 ; y0 = 1 , |
|
|
б) 3x2 + y2 − z 2 − 3 = 0 ; x0 =1; y0 = 2 . |
|
4. |
а) z = 4x2 − y 2 ; x0 = 1; y0 = 0 , |
|
|
б) x2 − 4y2 + z 2 − 4 = 0 ; x0 = 2 ; y0 = 1. |
|
5. |
а) z = x2 + 5y2 ; x0 = 0 ; y0 = 1, |
|
|
б) 5x2 + y2 − z 2 − 5 = 0 ; x0 = 1; y0 = 2 . |
|
6. |
а) z = 6x2 − y 2 ; x0 = 1; y0 = 0 , |
|
|
б) x2 − 6y2 + z 2 − 2 = 0 ; x0 = 2 ; y0 = 1. |
|
7. |
а) z = x2 + 7y2 ; x0 = 0 ; y0 = 1, |
|
|
б) 7x2 + y 2 − z 2 − 7 = 0 ; x0 = 1; y0 = 2 . |
|
8. |
а) z = 8x2 − y2 ; x0 = 1; y0 = 0 , |
|
|
б) x2 − 8y2 + z 2 − 5 = 0 ; x0 = 2 ; y0 = 1. |
|
9. |
а) z = x2 + 9y2 ; x0 = 0 ; |
y0 = 1, |
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
|
|
|
|
85 |
|
|
б) 9x2 + y2 − z 2 − 9 = 0 ; x0 =1; y0 = 2 . |
||||
10. |
а) |
z = 10x2 − y 2 ; |
x0 |
= 1; |
y0 = 0 , |
|
б) x2 −10y2 + z2 −10 = 0 ; x0 = 2 ; y0 = 1. |
||||
11. |
а) |
z = x2 +11y 2 ; |
x0 |
= 0 ; |
y0 = 1, |
|
б) 11x2 + y 2 − z 2 −11 = 0 ; x0 = 1; y0 = 2 . |
||||
12. |
а) |
z = 12x2 − y 2 ; |
x0 |
= 1; |
y0 = 0 , |
|
б) x2 −12y2 + z2 − 8 = 0 ; x0 = 2 ; y0 = 1. |
||||
13. |
а) |
z = x2 +13y 2 ; |
x0 |
= 0 ; |
y0 = 1, |
|
б) 13x2 + y2 − z 2 −13 = 0 ; x0 =1; y0 = 2 . |
||||
14. |
а) |
z = 14x2 − y 2 ; |
x0 |
= 1; |
y0 = 0 , |
|
б) x2 −14y2 + z2 + 6 = 0 ; x0 = 2 ; y0 = 1. |
||||
15. |
а) |
z = x2 +15y 2 ; |
x0 |
= 0 ; |
y0 = 1, |
|
б) 15x2 + y 2 − z 2 −15 = 0 ; x0 = 1; y0 = 2 . |
||||
16. |
а) |
z = 16x2 − y 2 ; |
x0 |
= 1; |
y0 = 0 , |
|
б) x2 −16y2 + z2 + 3 = 0 ; x0 = 2 ; y0 = 1. |
||||
17. |
а) |
z = x2 +17 y2 ; |
x0 |
= 0 ; |
y0 = 1, |
|
б) 17x2 + y2 − z 2 −17 = 0 ; |
x0 = 1; y0 = 2 . |
|||
18. |
а) |
z = 18x2 − y2 ; |
x0 |
= 1; |
y0 = 0 , |
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
|
|
|
86 |
|
|
б) x2 −18y2 + z 2 + 5 = 0 ; x0 = 2 ; y0 = 1. |
|||
19. |
а) |
z = x2 +19y2 ; |
x0 = 0 ; |
y0 = 1, |
|
б) 19x2 + y 2 − z 2 −19 = 0 ; x0 = 1; y0 = 2 . |
|||
20. |
а) |
z = 20x2 − y 2 ; |
x0 = 1; |
y0 = 0 , |
|
б) x2 − 20y2 + z 2 + 7 = 0 ; x0 = 2 ; y0 = 1. |
|||
21. |
а) |
z = x2 + 21y 2 ; |
x0 = 0 ; |
y0 = 1, |
|
б) 21x2 + y2 − z 2 − 21 = 0 ; x0 = 1; y0 = 2 . |
|||
22. |
а) |
z = 22x2 − y 2 ; |
x0 = 1; |
y0 = 0 , |
|
б) x2 − 22y2 + z 2 + 2 = 0 ; x0 = 2 ; y0 = 1. |
|||
23. |
а) |
z = x 2 + 23y2 ; x0 = 0 ; y0 = 1, |
||
|
б) 23x2 + y 2 − z 2 − 23 = 0 ; x0 = 1; y0 = 2 . |
|||
24. |
а) |
z = 24x2 − y 2 ; |
x0 = 1; |
y0 = 0 , |
|
б) x2 − 24y2 + z 2 + 4 = 0 ; x0 = 2 ; y0 = 1. |
|||
25. |
а) |
z = x2 + 25y2 ; |
x0 = 0 ; |
y0 = 1, |
|
б) 25x2 + y2 − z 2 − 25 = 0 ; x0 = 1; y0 = 2 . |
|||
26. |
а) |
z = 26x2 − y 2 ; |
x0 = 1; |
y0 = 0 , |
|
б) x2 − 26y2 + z 2 − 3 = 0 ; x0 = 2 ; y0 = 1. |
|||
27. |
а) |
z = x2 + 27y 2 ; |
x0 = 0 ; |
y0 = 1, |
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
|
|
|
87 |
|
|
|
б) 27x2 + y 2 − z 2 − 27 = 0 ; x0 = 1; y0 = 2 . |
||||
28. |
а) |
z = 28x2 − y2 ; |
x0 = 1; |
y0 |
= 0 , |
|
б) x2 − 28y2 + z 2 −1 = 0 ; x0 = 2 ; y0 = 1 . |
||||
29. |
а) |
z = x2 + 29y 2 ; |
x0 = 0 ; |
y0 = 1, |
|
|
б) 29x2 + y 2 − z 2 − 29 = 0 ; x0 = 1; y0 = 2 . |
||||
30. |
а) |
z = 30x2 − y2 ; |
x0 = 1; |
y0 |
= 0 , |
|
б) x2 − 30y2 + z2 +1 = 0 ; x0 |
= 2 ; y0 = 1 . |
|||
4.2.8Знайти екстремуми функції
1.z = x3 + 8y3 − 6xy + 5
2.z = x3 + y2 − 6xy − 39x +18y
3.z = 2x3 + 2y3 − 6xy + 20
4.z = 3x3 − xy2 + y 2
5.z = 13 x3 + 12 y2 − 2xy −13x + 4y
6.z = −3x3 − 3y3 + 9xy + 5
7.z = x3 + y3 −15xy
8.z = x y (6 − x − y)
9.z = 6xy − x3 − 8y3 + 15
10.z = 3x2 − x3 + 3y2 + 6y
11.z = 2x3 + 4x2 + y2 − 2xy
12.z = x3 + y2 + 6xy
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
88
13.z = 16 x3 − xy2 + 14 x2 + y2
14.z = 12 x2 + 13 y3 − 2xy + 4x −13y
15.z = x3 + 3xy2 − 30x −18y
16.z = 3x3 + 3y3 − 9xy +10
17.z = y3 + 12 x2 + 2y2 − xy
18.z = x2 − x2 y + 3y3
19.z = 8x3 − 6xy + y3 +10
20.z = x2 + y3 − 6xy + 18x − 39y + 1
21.z = x2 − x2 y + 5y5
22.z = 6xy − 12 x2 − xy2
23.z = 7x7 − xy2 + y2
24.z = 3x2 + 3y2 + 6x − y3
25.z = x2 + 2y3 + 4y2 − 2xy
26.z = x2 y + 13 y3 + 6xy
27.z = x2 − 13 y3 − x2 y + 5y2
28.z = 3x3 − xy2 + y 2
29.z = 13 x3 − 5x2 + xy − y2
30.z = x3 + y3 − 3xy
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
89
4.2.9 Знайти найбільше та найменше значення функції
z = |
|
a |
|
x2 + |
|
b |
|
y2 + 2 a x + 2b y + k в |
області |
Dk , |
де |
|
|
|
|
D1 : x = 0, y = 0, x + y = 3 ; D−1 : x = 0, y = 0, x − y = −3 ;
D2 : x = 0, y = 0, x + y = −3; D−2 : x = 0, y = 0, x − y =3.
№ |
a |
b |
k |
№ |
a |
b |
k |
варіанта |
|
|
|
варіанта |
|
|
|
1 |
-1 |
-1 |
1 |
16 |
-4 |
4 |
-2 |
2 |
1 |
-1 |
-1 |
17 |
-5 |
-5 |
1 |
3 |
1 |
1 |
2 |
18 |
5 |
-5 |
-1 |
4 |
-1 |
1 |
-2 |
19 |
5 |
5 |
2 |
5 |
-2 |
-2 |
1 |
20 |
-5 |
5 |
-2 |
6 |
2 |
-2 |
-1 |
21 |
-6 |
-6 |
1 |
7 |
2 |
2 |
2 |
22 |
6 |
-6 |
-1 |
8 |
-2 |
2 |
-2 |
23 |
6 |
6 |
2 |
9 |
-3 |
-3 |
1 |
24 |
-6 |
6 |
-2 |
10 |
3 |
-3 |
-1 |
25 |
-7 |
-7 |
1 |
11 |
3 |
3 |
2 |
26 |
7 |
-7 |
-1 |
12 |
-3 |
3 |
-1 |
27 |
7 |
7 |
2 |
13 |
-4 |
-4 |
1 |
28 |
-7 |
7 |
-2 |
14 |
4 |
-4 |
-1 |
29 |
-8 |
-8 |
1 |
15 |
4 |
4 |
2 |
30 |
8 |
-8 |
-1 |
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
90
ЛІТЕРАТУРА
1.Вища математика. Модуль 2. Вступ до математичного аналізу. Диференційне числення функцій однієї змінної: Навч. посібник / Крисак Я.В., Левковська Т.А., Горідько Р.В. [та ін.] – К. : НАУ-
друк, 2006. – 284 с.
2.Вища математика: Підручник: У 2 кн. – 2-ге вид., перероб. і доп. – К.: Либідь, 2003. Кн. 1 Основні розділи / Г.Й. Призва В.В. Плахотник, Л.Д. Гординський та ін.; За ред. Г. Л. Кулініча. – 400 с.
3.Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах с решениями. В 2 ч. Ч. 1: Учебное пособие для вузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М. : ОНИКС 21 век, 2002. – 304 с.
4.Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах с решениями. В 2 ч. Ч. 2: Учебное пособие для вузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: ОНИКС 21 век, 2006. – 416 с.
5.Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика: Навчальний посібник. У трьох частинах. Ч.1. – Х.: Веста, 2008. – 200с., іл.
6.Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика: Навчальний посібник. У трьох частинах. Ч.2. – Х.: Веста, 2008. – 240с., іл.
7.Овчинников П.П. та ін. Вища математика: Підручник. У 2 ч. Ч.1: Лінійна і векторна алгебра: Аналітична геометрія: Вступ до математичного аналізу: Диференціальне і інтегральне числення (Овчинников П.П., Яремчук Ф.П., Михайленко В.М.; За заг. ред. Овчинникова П.П.) – К.: Техніка, 2003. – 600 с.: іл.
8.Пискунов П.С. Дифференциальное и интегральное счисления: Учеб. пособие для втузов. В 2 т. М.: Иитеграл-Пресс, 2004. Т. 1: – 416 с;
Т. 2: – 544 с.
9.Рябушко А.П. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике (в 3 частях). – Минск, «Вышэйшая школа», 1990-1991.
Ч. 1 – 270 с.
10.Рябушко А.П. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике (в 3 частях). – Минск, «Вышэйшая школа», 1990-1991.
Ч.2 – 352 с.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com