M05097

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Запорожский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

, x = e3uv − u2 , y = e

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.02.2016

Размер:

518.36 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 98 9 > Следующая >>>

а)	z = 3x4 + 5x − 2x3 y7 −				1	y3	+	1	y2
а)	z = 3x4 + 5x − 2x3 y7 −				3	y3	+	2	y2
б)	z = x2 − xy − 3y3				3			2
б)	z = x2 − xy − 3y3
в)	z = ln (x2 + y)
г)	z = x	2	e	y2 − 2xy
г)	z = x		e

5. Знайти похідні першого порядку для функції, що задана

неявно.

а)	sin z4 − e y z + x2 y = 0
	z2 3		− x2 y cos z + 4 = 0
б)		y
в)	sin y2 = 1− x y
г)	xy3 + ln y + x2 = 0
	6. Знайти похідні першого порядку для складених функцій.

а)

б) в)

а) б)

в)

z = ln 2 (x2 + y2 ), x = 3t + t2 , y = 4t3 − 2

z= x3 y − 4xy2 + xy, y = 33x2 + 4

7.Знайти рівняння дотичної та нормалі до поверхні.

z = x2 + 2y2 в точці (1;1;? )

x3 + y3 + z3 + xyz = 6 в точці (1;2;−1 )

x2 + 20y2 + z2 − 28 = 0 при x0 = 2; y0 =1

8. Знайти екстремум функції.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com


				72
а)	z = x3 + 3xy2 −15x −12y
б)	z =	1	x3 + xy −		1	y2 − 9x − 3y +12

	3			2
	9. Знайти умовний екстремум функції
а)	z = x + 2y при x2 + y2 = 5
б)	z = x3 + y3			при x + y = 2

10.	Знайти	найбільше		та найменше		значення функції
z = x2 y (4 − y − x)		в	трикутнику,		обмеженому		прямими
x = 1; y = 0; x + y = 6 .
11.	Знайти	найбільше та найменше значення функції
z =10 + 2xy − x2 в		замкнутій		області	D, яка	задана	нерівністю
0 ≤ y ≤ 4 − x2 .

4.2 Індивідуальні завдання

4.2.1 Знайти і намалювати область визначення функції.

														y −1
1.	z =			xy							2.	z = arcsin		y −1
														x
		x2 + y2												x
												z =
	z = 1+ x − y2 + 1− x − y2 4.
3.	z = 1+ x − y2 + 1− x − y2 4.												(x +1)(y −1)
	z = arcsin					x	2	+ y		2		z = (9 − x2		− y2 )−	1
5.						x		+ y			6.				2
5.								4			6.				2
								4				z = ln (y2 − 4x + 8)
7.	z = x2 + y2 −1										8.	z = ln (y2 − 4x + 8)
	z = e				+							z = ln (4 − 4x − y2 )
			x− y								10.
9.			x− y						y −1		10.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

11.	z =		5				æ	x	ö
						12	ç		÷
			2		2
		4 - x		- y			z = arcsinç		÷
							è y ø

13.	z = ln (y2 - x2 )
15.	z = arccos(x + 2y)
17.	z = ln (x2 + y2 - 3)
19.	z = ln (1- x2 - y2 )
21.	z = ln (2x2 - y)

23.	z = 1 - y2 + 1 - x2
25.	z = 3x +		y
		2 - x + y

27. z = x + y + x - y

29.z = x - y

4.2.2Знайти частинні похідні

14.z = e x2+ y2−4

16.z = 4x2 - y2

18.z = 1 - x - y

20. z = x + y ln(y2 - x2 )

22.z = x2 - y2

24.z = ln(xy -1)

26.	z = 4x +	y

		2x - 5y
		2x - 5y

28.z = ln (9 - x2 - y2 )

30. z = arccos(x + 3y)

¶¶xz i ¶¶yz

z = ln(y2 + 2xy + x2 - 2)

z = tg(x3 - 2yx + 3)

z = cos(2x + 3y - x2 y3 )

z = sin

2 - x - y2

z = ln(x +

)

z = x3 y + 5x - 3y

x2 + y2

z = ln(3x2

- y2 + 4x)

z = ctg

xy3

z = 2

y+xy2

−5x

10.

z = arccos(x - y2 -1)

11.

z = ln(

- x)

12.

z = tg(y3 - 2x + 5)

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

				æ		x		ö
13.				ç		x	+ 2	÷
				ç				÷
	z = arcsinç					y		÷
				è		y		ø
15.	æ	x	ö3
	z = ç	x	÷
	z = ç		÷
	ç		÷
	è	y ø
17.	z = arctg				y3
17.	z = arctg					x
						x

19.z = ctg xy2

21.z = ln(y2 - ye-x + x)

23.z = cos(x3 y2 - yx + 2y)

25.z = ln(3xy - 4 + x2 )

27. z = sin 3 yx4

z = e- x2+ y2+3xy

14.

	16. z =		xy

			x2 + y 2
			x2 + y 2

18.z = sin xy × cos xy

20.	z =	x3 + y3
		x2 - y2 + 3

22.	z = xy + ln(x4 - y3 )
		æ	ö
24.		-ç xy+3x2-4 y3	÷
	z = e è		ø

26.z = arctg(3x2 - y2 + 2xy)

	æ x2		+ y ö
28.	z = ctgç			÷

	ç	y	2 ÷
	è		ø

29.

z = cos(xy2 )

30.

z =

x3 y2 - 2x

yx2 + y3

4.2.3

Знайти

частинні

похідні

2-го

порядку

¶2 z

;

¶2 z

;

¶2 z

функції

z = f (x, y)

¶x2

¶y2

¶x¶y

z = (sin x + cos x)e2 y

z = sin(2x + y2 )

z = cos(x3 - 2xy)

z = e

2x2

- y3

z = ln(3x2 - y2 )

z = cos(x2 - y2 )+ x3

z = ex2 −2 y2

z = sin(x + 3y)- y2

z = sin(x3 y)+ y3

10.

z = arctg(2x - y)

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

11.z = ln(2xy − 3)

13.z = ln (3x2 + 2y2 )

15.z = sin (2x + 5y2 )

17.z = cos (3x2 − 4y3 )

19.z = ln(xy − y2 )

21. z = cos(x − y3 )

23.z = ln(x + e− y )

25.z = y × xy

27.z = arctg xy

29.z = ln(x2 − y2 )

4.2.4Знайти для функції

dz i d 2 z

12.z = cos (xy2 )+ x3

14.z = arctg(3x + 2y)

16.z = e2x2−5 y

18.z = arctg(x + y)

20.z = e y2−x2

22.z = ex y

24.	z = ln(y2 + 2x)

26.z = x e x

28.z = x y

30.z = e x2y

z = f (x, y) повний диференціал

1.	z = x2 − 3xy3 + 5y4							2.	z = −3x3 + 2x2 y4 − 2y2
3.	z =	1	x3	+ 5x2 y − 4y3				4.	z =		1	x4		− 5xy4 − 3y3
										4
	3
5.	z = 0,5x			2	+ 6x y	2	− 3y		z =	1			5	+ 4x	2		3	− 2y		5
								6.		5 x						y

7.	z = 1,5x3 − 7x3 y2 − 4y7							8.	z = 3x − 5x3 y2							−		1	y3
																		2


9.	z = 3x2			+ 3x2 y3 − 4y3			10.	z = x3	− x2 y + y3
11.	z = 2x2 − 3x4 y2 + y2						12.	z = x4	− 2x2 y3 + 2y
13.	z = −	1	x3 + 2x3 y3 −		1	y4	14.	z = −3x2 + 5x2 y − 7y3

15.	3			4			16.
	z = 3x2			+ 2x − 8xy2 + 8y3				z = 2x3 − 3x4 y + 5y − 2y2

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

	76
17.	z = -3x2 + 3x2 y5 + 2y4 - 3y			18.		z = x3 - 8xy5 + 2y7
19.	z = 3x5 + x - 8x2 y3 + 2y6			20.		z = 5x4 + 2x4 y5 - 4y6
21.	z = -	1	x5 + x2 - 4x3 y2 - 3y	22.		z = -x2 - 8xy3 + 3y5

23.	5			24.
	z = 5x2 - 6x2 y2 - 7y4					z = -5x4 + 9x2 y3 +10y2
25.	z = -	1	x4 - 7x3 y2 - 2y8	26.		z = 5x5 - x + 8x3 y4 - 5y3

27.	2			28.
	z = -2x5 - 5x4 y5 - 3y3 + 2y					z = 2x3 + 3x2 - 4x5 y2 + 2y
29.	z = -3x3 + 2x2 - 4x3 y4 + 3y5			30.		z = -			1	x5		- x3 + 2x7 y6 - 3
									5

	4.2.5 Знайти частинні похідні а)				¶z	,	¶z	;	б)		dy	функції, яка
					¶x						dx
							¶y

задана неявно.

1.	а)	x sin y + y cos z + z sin x =1			б)
					б)
2.	а)	sin( z3 ) - xyz = 0			б)
3.	а) ez - x2 yz = 1				б)
4.	а)	ln(x + z) - x2 yz3 = 0			б)
		z3 + y×arctg(x + z) -		= 3
5.	а)	z3 + y×arctg(x + z) -	y	= 3	б)
6.	а)	3xz2 - x2 y sin z + 4 = 0			б)
7.	а)	3yz 2 - x2 sin z + yx = 0			б)
8.	а)	arcsin(xyz)−3xz2 +sin y = 0			б)
9.	а)	cos(x2 − z2 ) − 3zy + x3 = 0			б)
10.	а)	y sin z + x2 y2 z3 = 1			б)
11.	а)	x cos y − y cos z + z cos x = 2			б)

x3 y - y3 x = 4 xy − ln y = 3

arctg(x + y) = y x2 y = e y

yex + e y = 0 y = 1+ y x

y = x + ln y

arctg(xy) + y =1 ex−2 y + y = 2

ln(3x2 - 2y2 ) = 1- y x2 y - ln(x + y + 2)= 0

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

12.а)

13.а)

14.а)

15.а)

16.а)

17.а)

18.а)

19.а)

20.а)

21.а)

22.а)

23.а)

24.а)

25.а)

26.а)

27.а)

28.а)

29.а)

30.а)

z4 - exyz = 0

e y z - x y2 z = 1

ln(2y - z) = x3 y2 z 2

z3 × y + x arctg(y + 2z) = 2

2x2 z3 - xy sin z - 2 = 0 3xz2 - y2 sin z + xy = 0

arctg(xyz)- 3yz 2 + cos x = 0

sin(y2 - z 2 )- 3xz + y3 = 0 x cos z + x2 yz3 = 3

arcsin(x + z)+ yz3 =1

arctg(x - z)+ 2xyz2 = 2 x2e−z + xyz3 = 4

cos(z 2 )= xy2 z3 2z = x2 yz 2

3x2 z - xy2 cos z =1

sin(x - z2 )- 3x2 z + 2y2 = 0 y2 z - ln(x + z2 )+ xyz = 0 arccos(xyz)+ 2x2 z2 = sin y 3x2 z 2 + x y sin z = 3

б)

б) б) б)

б)

б) б) б) б) б)

б)

б) б)

x ln y = y + 3 arcsin(x + 2y)= y ex2y = y2

xe y = y2 -1

cos y = 1- y x y2 = x + ln y

arcsin xy + y = 2

e y−2x	+ y2			=	3
æ	2		1		3	ö
lnç2x		-		y		÷	= 1+ y
lnç2x		-	3	y		÷	= 1+ y
è			3			ø

ex2− y = y3 ln(x - y)= e y

sin(x - y)= 2 y xy − tg y = 2

arctg(xy)= x + y x y = 2 + y x

ln(x + y)= 3y

e2x+ y = y x

xe y = tg y sin y = x × e y

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

4.2.6 Знайти похідні складених функцій: а) ¶∂uz , ¶∂zv ;б) dzdt ;

в) dxdz .

1. а)	z = x2 y - y2 x ,			x = u ×tgv,	y = v × cosu
б)	z = e x2− 2 y ,			x = sin 3t,	y = 2t3
		x
в)	z = arctg		,	y = x2 +1
		y

2.а)

б) в)

3.а)

б) в)

4.а) б)

в)

z = x3 y + 4y2 , z = ln(e3x - e−2 y z = tg(3 + 2x2 -

z = e2x2−2 y2 , z = y2x

	æ	x	ö
z = ln sin	ç	x	÷
z = ln sin	ç		,
	ç		÷
	è	y ø

z = ln(e−x + e−2 y

z = e y2−2x+2xy ,

æ	x		ö
z = sinç	x		÷,
z = sinç		2	÷,
ç		2	÷
è y			ø

y),

x = u2 × ln v,		y = u ×v3
x = 4t 2 +1,		y = (2 - t)3
y =
	x
z = u ×v ,		y = v × cosu
x = ln(t2 -1),		y = 3
			t
y = x3 + 2
x = u2 × v,		y = u − v3
x = cos3t,		y = tg2t
y = tg 2 x