3. Функция распределения двумерной случайной величины.

Рассмотрим двумерную случайную величину (X, Y). Пустьх,у– пара действительных чисел. Вероятность события, состоящего в том, чтоXпримет значение, меньшеех, и при этомYпримет значение, меньшееу, обозначим черезF(х, у). Еслихи убудут изменяться, то будет изменяться иF(х, у), т.е.F(х, у) есть функция отхи у.Функцией распределениядвумерной случайной величины (X, Y) называют функциюF(х, у), определяющую для каждой пары чиселх, увероятность того, чтоXпримет значение, меньшеех,и при этомYпримет значение, меньшееу:F(х, у) = Р(X< х, Y< y).(69)

Свойства функции распределения.

1⁰. Значения функции распределения удовлетворяют неравенству.

2⁰.F(х, у) есть неубывающая функция по каждому аргументу, т.е..

3⁰. Имеют место предельные соотношения:

4⁰. Прифункция распределения системы становится функцией распределения составляющейХ:, прифункция распределения системы становится функцией распределения составляющейY:.

5⁰. Вероятность попадания случайной точки в полуполосу равна приращению функции распределения по одному из аргументов:

В полуполосу x₁<X<x₂иY<y:.

В полуполосу X<xиу₁<Y<y₂:.

6⁰. Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям:X=x₁,X=x₂,Y=y₁, Y=y₂:.

4. Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины (двумерная плотность вероятности).

Плотностью совместного распределения вероятностейf(x,y) непрерывной двумерной случайной величины (X, Y) называют вторую смешанную частную производную от функции распределения:(70). Геометрически эту функцию можно истолковать как поверхность, называемуюповерхностью распределения.

Для нахождения функции распределения F(х, у) по известной плотности распределения используется формула:(71)

Свойства двумерной плотности вероятности.

1⁰. Двумерная плотность вероятности неотрицательна:.

2⁰..

3⁰. Отыскание плотностей вероятности составляющих двумерной случайной величины: плотность распределения одной из составляющих равна несобственному интегралу с бесконечными пределами от плотности совместного распределения системы, причем переменная интегрирования соответствует другой составляющей и наоборот:,.

5. Условные характеристики системы непрерывных случайных величин.

Пусть (X, Y) – непрерывная двумерная случайная величина.

Условной плотностьюраспределения составляющихХпри данном значенииY =yназывают отношение плотности совместного распределенияf(x,y) системы (X, Y) к плотности распределенияf₂(y) составляющейY:. Аналогично определяется условная плотность составляющейYпри данном значенииХ.

Условным математическим ожиданиемдискретной случайной величиныYприХ =хназывают произведение возможных значенийYна их условные вероятности:. Для непрерывных величин, где- условная плотность случайной величиныYприХ =х. Условное математическое ожиданиеесть функция отх, которую называютфункцией регрессииYнаХ.Аналогично определяются условное мат. ожиданиеХи функция регрессииХ на Y.