1. Неравенство Маркова (лемма Чебышева).

X	х1	х2	…	хn
p	р1	р1	…	рn

Рассмотрим дискретную случайную величинуХ,

заданную таблицей распределения:

Неравенство Чебышева.Вероятность того, что отклонение случайной величины Х от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа, не меньше, чем:

(68)

2. Теорема Чебышева.

Теорема.ЕслиХ₁,Х₂, …,Х_n, … - попарно независимые случайные величины, причем дисперсии их равномерно ограничены (не превышают постоянного числа С), то, как бы мало ни было положительное число, вероятность неравенствабудет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.

Т.е. .

Таким образом, теорема Чебышева утверждает, что если рассматривается достаточно большое количество независимых случайных величин, имеющих ограниченные дисперсии, то почти достоверным можно считать событие, состоящее в том, что отклонение среднего арифметического случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий будет по абсолютной величине сколь угодно малым. Значит, среднее арифметическое достаточно большого количества независимых случайных величин утрачивает характер случайной величины.

На теореме Чебышева основан широко применяемый в статистике выборочный метод, суть которого состоит в том, что по сравнительно небольшой случайной выборке судят обо всей совокупности исследуемых объектов. Например, о качестве кипы хлопка заключают по небольшому пучку, состоящему из волокон, наудачу отобранных из разных мест кипы. Хотя число волокон в пучке значительно меньше, чем в кипе, сам пучок содержит достаточно большое количество волокон, исчисляемое сотнями. Или судят о качестве зерна по небольшой его пробе – число отобранных зерен мало сравнительно со всей массой зерна, но само по себе оно достаточно велико.

§11. Система двух случайных величин.

1. Понятие о системе нескольких случайных величин.

Ранее мы рассматривали одномерныеслучайные величины – возможные значения которых определялись одним числом. Кроме одномерных случайных величин, можно рассмотреть величины, возможные значения которых определяются двумя, тремя, …,nчислами. Такие величины называются соответственнодвумерными, трехмерными, …, n-мерными.Будем обозначать (X, Y) двумерную случайную величину. Каждую из величинX, Yназываютсоставляющей (компонентой).Обе величины, рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайных величин. Аналогично определяютсяn-мерные величины. Различают дискретные (составляющие этих величин дискретны) и непрерывные (составляющие этих величин непрерывны) многомерные случайные величины. Например, если станок выпускает плитки и контролируется только ширина плиток, имеем одномерную случайную величину. Если контролируются ширина и длина – двумерная случайная величина. Если контролируются ширина, длина и высота плитки, имеем трехмерную случайную величину.

2. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины.

Законом распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины называют перечень возможных значений этой величины, т.е. пар чисел (x_i,y_j) и их вероятностейр(x_i,y_i) (i= 1, 2, …,n;j= 1, 2, …,m). Обычно закон распределения задают в виде таблицы с двойным входом:

Y	X
	х1	х2	…	xi	…	xn
y1	p(x1, y1)	p(x2, y1)	…	p(xi, y1)	…	p(xn, y1)
y2	p(x1, y2)	p(x2, y2)	…	p(xi, y2)	…	p(xn, y2)
…	…	…	…	…	…
yj	p(x1, yj)	p(x2, yj)	…	p(xi, yj)	…	p(xn, yj)
…	…	…	…	…	…
ym	p(x1, ym)	p(x2, ym)	…	p(xi, ym)	…	p(xn, ym)

Так как события x_i,y_jобразуют полную группу, сумма всех вероятностей, помещенных во всех клетках таблицы, равна единице.