8. Логарифмически – нормальное распределение.

Непрерывная случайная величина Х имеет логарифмически – нормальное (логнормальное) распределение, если ее логарифм подчинен нормальному закону.

Так как при x> 0 неравенстваX<xиlnX<lnxравносильны, то функция распределения логнормального распределения совпадает с функцией нормального распределения для случайной величиныlnX, т.е.

.(64)

Дифференцируя (64) по х, получим выражение плотности вероятности для логнормального распределения (65)Математическое ожидание случайной величины, распределенной по логнормальному закону, имеет вид:, дисперсия:, мода, медианаМе (Х) = а. Очевидно, что чем меньше, тем ближе друг к другу значения моды. Медианы и математического ожидания. А кривая распределения – ближе к симметрии. Если в нормальном законе параметр а выступает в качествесреднегозначения случайной величины, то в логнормальном – в качествемедианы.

Логнормальное распределение широко используется для описания распределения доходов, банковских вкладов, цен активов, месячной заработной платы, посевных площадей под разные культуры, долговечности изделий в режиме износа и старения и др.

9. Распределение Хи – квадрат.

Распределением (хи – квадрат) сkстепенями свободыназывается распределение суммы квадратовkнезависимых случайных величин, распределенных по стандартному нормальному закону, т.е.(66)гдеZ_i (I= 1, 2, …,k) имеет нормальное распределениеN(0; 1).

Плотность вероятности -распределения имеет вид:

где – гамма - функция Эйлера (для целых положительных значений Г(у) = (у – 1)! ). Приk>30 распределение случайной величиныZблизко к нормальному закону.

10. Распределение Стьюдента.

Распределением Стьюдента(Стьюдент – псевдоним английского статистика В. Госсета) (илиt-распределением) называется распределение случайной величины(67)гдеZ– случайная величина, распределенная по стандартному нормальному закону, т.е.N(0; 1);- независимая отZслучайная величина, имеющая-распределение сkстепенями свободы.

§10. Закон больших чисел и предельные теоремы.

Под законом больших чисел в широком смысле понимается общий принцип, согласно которому, по формулировке академика Колмогорова, совокупное действие большого числа случайных факторов приводит (при некоторых весьма общих условиях) к результату, почти не зависящему от случая. Другими словами, при большом числе случайных величин их средний результат перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности.

Под законом больших чисел в узком смысле понимается ряд математических теорем, в каждой из которых для тех или иных условий устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа испытаний к некоторым определенным постоянным. Для практики очень важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие очень многих случайных величин приводит к результату, почти не зависящему от случая, т.к. позволяет предвидеть ход явлений. Рассмотрим теорему Чебышева, которая является наиболее общим законом больших чисел; более простым случаем – теорема Бернулли.