Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский государственный горный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

неопр.ин-л лекции и практики

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

2.05 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 88

Пример 1. Вычислить интеграл ∫

3 x2 (1+3 x2 ).

Решение:

−1

−

∫

= ∫x

1 + x

. Здесь p = −1.

(1 +

)

Положим t = x 3 . Тогда

2 −1

∫x−

1 + x

dx =

∫t−1(1 +t)−1 3 t

3 ∫t−

(1 +t)−1 dt .

, тогда t = u2 ;

Проведем теперь замену u = t

dt = 2udu .

∫x−

2 −1

(1 +t)−1 dt = 3

1 + x

dx =

∫t−

∫u−1(1 +u2 )−1 2udu =

=3∫

=3arctg u +C =3arctg

t +C =3arctg 3 x +C;

1 +u2

2) если

m +1

– целое число, то применяется подстановка a +bxn = t s ,

где s – знаменатель дроби p .

Пример 2. Вычислить интеграл ∫

3 1 + 4

dx .

Решение:

x dx =

∫

−1

dx . Здесь m +1 = 2 .

∫

1 + x4

. Тогда x = (t3 −1)4 ,

dx = 4(t3 −1)3 3t2dt .

Положим t3 =1 + x

∫x

−1

+ x4

dx = ∫(t3 −1)−2 t 4(t2 −1)3 3t2dt =12∫t3 (t3 −1)dt =

12 3

3 3

=12∫(t

−t

)dt =12

−

+C =

(1 +

x ) −

(1 +

x ) +C.

если

m +1

+ p

–

целое

число,

то

применяется

подстановка

a +bxn = xn ts , где s – знаменатель дроби p .

Пример 3. Вычислить интеграл∫

Решение:

(1 + x2 )3

m +1 + p = −2 .

∫

= ∫x−2 (1 + x2 )−2 dx . Здесь

(1 + x2 )3

dx = − 1

Положим t2 =1 + x−2 . Тогда x = (t2 −1)

−

(t2 −1)−

2tdt .

−2

)

−

−2

−3

∫x

+ x

2 dx = −∫(t

+1)

1 +

−1)

2 tdt =

−1

−

)dt = −t −

−t2

2x2

= −∫

= −∫(1 −

+C =

+C.

x x2

Пример 4. Интеграл ∫x−7 (

2x +

3)3 dx не выражается через элемен-

тарные функции.

Практическая часть

«Интегрирование иррациональностей»

Пример 1. Вычислить ∫	x	dx .
	x −3 x2

Решение:

Наименьшее общее кратное показателей корней равно 6, поэтому применяем подстановку x = t 6:

∫

dx =

x = t6

; dx = 6t5dt = ∫

6t5dt = 6∫

t 4

dt = 6∫t 4 −1+1 dt =

x −3 x2

t6 −t 4

t 2 −1

= 6∫(t 2

+1)dt +6∫

= 2t3 +6t +

3ln

t −1

+C = 2

x +66

x +3ln

x −1

t 2

−1

t +1

x +1

Пример 2. Вычислить ∫	x	dx .
	x −3
		x
	72

Решение:

Так как общий знаменатель дробей равен 6, сделаем замену x =t6 . То-

гда

∫

dx =

x =t6

= ∫

dt = 6∫

x − 3

t3 −t

dt =

dx = 6t5dt

−1

= 6∫(t

+ t

+ t +1 +

)dt =t

+ 6t

+ 6ln

t −1

+ C=

−1

= x +

6 6

3 3

x2 + 2 x + 33 x + 66 x + 6ln 6 x −1 + C.

Пример 3. Вычислить J = ∫

dx .

Решение:

x + 4

Положим x =t 4 , тогда

dx = 4t3dt

−1 +1) dt

J = 4∫

= 4∫

= 4∫ t

−1 +

dt = 4

−t + ln | t +1| + C =

t +1

= 2

x − 44 x + 4ln(4 x +1) + C .

Пример 4. Вычислить J = ∫

xdx .

Решение:

4 x3 +1

Положим x =t 4 , тогда dx = 4t3dt

J =

4∫

t 2

t3dt

4∫

= ∫(t

2 −

t 2

)dt = 4∫t

2dt − 4∫

dt =

t3 +1

t3 +

t3 +1

3 +1

v =t

3 +1

−

∫

−

ln | v | +C

−

ln | t

+1| +C =

dv =3t 2

= 34

[4 x3 − ln | 4 x3 +1]+ C.

Пример 5. Вычислить J = ∫

1 − 2x − 4 1 − 2x

Решение:

− 2dx

Положим 4 1 − 2x =t , тогда dt =

= −

4(4 1 − 2x )3

2t3

− 2t3dt

t 2dt

J = ∫

= ∫

t 2 −t

= −2∫

= −2∫ t +

dt =

− 2x

−

t −1

1 − 2x

dt = −t 2 −

= −t 2

= −2∫tdt −2∫

2∫ 1

−2t −2 ln

t −1

+C =

−

−1

= − 1 −2x −24 1 −2x −2 ln 4 1 −2x −1 +C.

3 x −1 +4 x −1

Пример 6. Вычислить J = ∫

(x −1)(1+6 x −1)dx .

Решение:

Положим 12 x −1 =t , x −1 =t12 ; тогда dx =12t11dt и

3 x −1 +4 x −1

(t 4 +t3 )12t11dt

t3 +t 2

J = ∫

(x −1)(1+6 x −1)dx

== ∫

t12 (1+t 2 )

=12∫

t 2 +1 dt =

=12 ∫t 2t3+1 dt + ∫t 2t 2+1dt =12 ∫ t − t 2 t+1 dt + ∫ 1− t 21+1 dt =

=12∫tdt −12∫t 2tdt+1 +12∫dt −12∫1+dtt 2 = 6t 2 +12t −6ln(t 2 +1) −12arctgt +C = = 66 x −1 +1212 x −1 −6ln(6 x −1 +1) −12arctg12 x −1 +C.

Пример 7. Вычислить ∫3 1− x

Решение:

1+ x

(1+ x)2

1−t3

1− x

= t3 , 1− x = t3

+ xt3 , x

= −1+

1+ x

1+t3

∫3 1+ x (1+ x)2

dx = −

6t 2dt

, 1+ x =

;

(1+t

3 )2

1+t

t 2dt

1 − x

= −

∫t(1

)

= −

∫t

dt = −

+ C = −

+ C .

(1+t3 )2

1 + x

Пример 8. Вычислить ∫

x2 − x +1

dx .

x2 +1

(x2 +1)

Решение:

Интеграл вида ∫R(x,

a2 + x2 ) dx , из возможных подстановок наибо-

лее удобной оказывается x = ctg t ( это устанавливается только пробой!). ctg2 t +1 = sin12 t , dx = −sindt2 t , поэтому

∫

− x +1

(x2 +1)

dx = ∫(−sin t)

2 t

−ctg t dt

sin

= ∫

(−sin t)

− ctgt dt

= ∫costdt − ∫

=sin t − ln

+ C =

sin t

sin 2 t

+C = sin(arcctg x) + ln

ctg arcctg x

=sin t +ln

ctg

+ C .

Ответ можно записать иначе. По школьным формулам

sin t =

, ctg t

= cos t +1

= ctg t +

= x + x2 +1 ,

1 +ctg2 t

sin t

поэтому

x2 − x +1

+ x2 +1 +C .

∫(x2 +1) x2 +1 dx

x2 +1 +ln x

Пример 9. Вычислить ∫

9 − x2 dx .

Решение:

Интеграл вида ∫R(x, a2 − x2 )dx .

x =3sin t

1 (1 + cos 2t)dt =

∫ 9 − x2 dx =

dx =3cost

∫9cos2 t dt

=9∫

9 − x

=3cost

9 (t +

1 sin 2t) + C.

Выразим t, sin t,

cos t через х:

t = arcsin x	, sin t = x		, cost =	9 − x2	, sin 2t =			2 x	9 − x2 .
3		3		3				9
Следовательно,				9 arcsin x		+ x
	∫	9 − x2 dx =		9 arcsin x		+ x	9 − x2		+C .
				2	3	2

Пример 10. Вычислить ∫(x2 +2) x2 −1 .

Решение:

Интеграл вида ∫R(x, x2 − a2 )dx .

sin t

1 −cos2 t

sin 2 t

∫

(x2 + 2)

x2 −1

x = cost

, dx = cos2 t dt, x

2 −1 = cos2 t

−1

cos2 t

= cos2 t

= ∫

cos tdt

= ∫

d sin t

= −

1 ∫

2 sin t

+ 2 cos2 t

3 − 2sin 2 t

2sin2 t −3

= −

2 sin t −

3 + C =

2 sin t +

+ C =

2 sin t +

2 sin t −

sin t =

1 −cos2 t

= cost

−1 =

x2 −1

2(x2 −1) +

+C.

cos2 t

2(x2 −1) −

Пример 11. Вычислить ∫

x (1 + 3 x )4dx .

Решение:

∫ x (1 + 3 x )4dx = ∫x

2 1 + x

dx . Здесь m =

, n =

1 ,

p = 4 .

Поэтому реализуется первый случай: если p – целое число, то приме-

няется подстановка x = tk , где k – наименьшее общее кратное знаменате-

лей дробей m и n.

. Тогда x =t6

и dx = 6t5dt .

Положим t = x

(1 + t

2 4

∫x 2

+ x3

dx = ∫t

dt = 6∫t

)

= 6∫t

+ +4t

+ 4

+ 6

+ 4

+ C =

+1)dt = 6

x 2

x 6

x 2

x 6

+ 4

+ C .

Пример 12. Вычислить J = ∫

1 − x4

dx .

Решение:

Перепишем исходный интеграл в виде J = ∫x−5 (1 − x4 )

dx . Это инте-

грал от дифференциального бинома,

где

m = −5, n = 4, p =

;

m +1

= −1.

Следовательно, имеет место случай 2 интегрируемости бинома.

(1 −t 2 )−

Подстановка 1 − x4 =t2 дает: x = (1 −t 2 )

dx = −

dt .

Поэтому

−3

−5

t 2dt

(1 −t2 )

J = ∫x−5 (1 − x4 ) 2 dx =

∫

(1 −t2 )

dt = −

−

∫

(1 −t 2 )2

1 t

t −1

= −

∫t d

= −

−

∫

= −

+ C.

−t2

1 −t2

Пример 13. Вычислить J = ∫x2 4 1 + x4 dx .

Решение:

Перепишем исходный интеграл в виде J = ∫x2 (1 + x4 )

dx .

Это интеграл от дифференциального бинома, где m = 2, n = 4, p =

1 ;

m +1

+ p =1. Следовательно, имеет место случай 3) интегрируемости би-

нома и имеет место подстановка 1 + x4 = x4 t

, x = (t 4 −1)−

, и dx = −t3 (t 4 −1)−

Тогда 1 + x−4 =t

dt .

−

J = ∫x2 (1 + x4 ) 4 dx =

∫(t 4 −1)

2 1 +

(−t3 )(t 4 −1)

4 dt =

4dt

4 −1

= −∫

∫t

− ∫

−1)2

4 −1

4 t 4 −1

t 4 −1

−

∫

−

arctgt

+ C.

2 −1

t 4 −

t 2 +1

t 4 −

Задания для самостоятельной работы

Задание 1. Найти:

x 4 dx

1) ∫

8x −11

2 dx ; 2) ∫

; 3) ∫

+ 4

5 +2x − x

(1 − x 2 )

Задание 2. Найти:

x 2 −8

3 x

1 − x

1) ∫

x 4

dx ; 2) ∫

x ( x + 3 x )dx ; 3) ∫

1 + x

x .

Задание 3. Найти:

1) ∫x −1 (1 + 3 x )−3 dx ; 2) ∫3 1 + 4 x

dx ; 3) ∫

4 .

1 + x

Ответы:

Задание 1:

1) −8

5 + 2x − x2 −3arcsin x −1 +C ;

(

4 + x2 )3

x 1− x

+ x2

−

arcsin x +

+C ; 3)

−

+C .

1− x2

16 x

48 x3

Задание 2:

(

x2 −8)3

+C ; 2) 6 ln

6 x

;

1+6 x

3) ln

1− x − 1+ x

+ 2 arctg

1− x +C .

1− x + 1+ x

1+ x

Задание 3:

1) 3 ln

+C ;

2 (1+

x )

(1+ 4 x )4 3 (44 x −3)+C ;

+ x4 5

1 + x4 3

1 1 + x4

−

+C .

7. ИНТЕГРАЛЫ, НЕ ВЫРАЖАЮЩИЕСЯ

ЧЕРЕЗ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ

Рассматривая неопределенные интегралы, мы отмечали, что всякая непрерывная на [a;b] функция f(x) имеет первообразную (теорема 1), т. е. существует такая F(x), что F ′(x) = f (x).

Однако не всякую первообразную, даже если она существует, можно выразить через элементарные функции.

Приведем примеры интегралов, не выражающихся через элементарные функции:

∫e−x2 dx				– интеграл Пуассона,
∫sin x dx,			∫cos x dx	– интегральный синус и косинус,
	x		x
∫cos(x2 )dx, ∫sin(x2 )dx				– интегралы Френеля,
	dx			– интегральный логарифм,
∫ln x				– интегральный логарифм,
∫ln x
∫		dx		– эллиптический интеграл 1-го рода,
	1 − k 2 sin 2 x			– эллиптический интеграл 1-го рода,
	1 − k 2 sin 2 x
∫	1 − k 2 sin 2 x dx			– эллиптический интеграл 2-го рода.

Подчеркнем, что эти интегралы существуют, но они определяют функции, не являющиеся элементарными.

Данные интегралы широко применяются в приложениях, и для каждого из этих интегралов составлены подробные таблицы значений.

Было бы ошибочно считать, что «неберущиеся» интегралы являются экзотикой, придуманной математиками. На самом деле, именно «берущиеся» интегралы следует считать экзотикой; они представляют собой редкое исключение в многообразии «неберущихся» интегралов. К «неберущимся» интегралам приводят многие теоретические и практические задачи. Например, первый из приведенных интегралов возникает в задачах теории вероятностей и статистики, два последних – в задачах механики.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Кудрявцев, В. А. Краткий курс высшей математики / В. А. Кудрявцев, Б. П. Демидович . – М. : АСТ, 2005.

2.Пискунов, Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Т. 1 / Н. С. Пискунов. – М. : Наука, 1985.

3.Бугров, Я. С. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т. 1 / Я. С. Бугров, С. М. Никольский. – М. : Дрофа, 2004.

4.Владимирский, Б. М. Математика. Общий курс / Б. М. Владимирский, А. Б. Горстко, Я. М. Ерусалимский. – СПб. : Лань, 2002.

5.Введение в анализ / под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. – М. : Изд. МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002.

6.Сборник задач по математике для втузов. Ч. 1 / под ред. Е. А. Ефимова. – М. : Наука, 1986.

7.Берман, Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа / Г. Н. Берман. – М. : Наука, 1985.

8.Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1 / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. – М. : Высш. шк., 1980.

9.Руководство к решению задач по высшей математике. Ч. 2 / под общ. ред. Е. И. Гурского. – Минск : Высш. шк., 1990.

10.Кузнецов, Л. А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты) / Л. А. Кузнецов. – М. : Высш. шк., 1994.

11.Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. Ч. 2 /

под ред. А. П. Рябушко. − Минск : Вышейш. шк., 1990.

12.Гусак, А. А. Справочное пособие к решению задач : Математический анализ и дифференциальные уравнения / А. А. Гусак. – Минск : ТетраСистемс, 1998.

13.Демина, Е. Л. Неопределенный интеграл : метод. указания к индивидуализированным практическим занятиям / Е. Л. Демина. – Екатеринбург : РИО УГТУ, 1995.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 88

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.06.20152.69 Mб340Морские узлы.docx
#
19.09.20191.65 Mб12моя расчётка ТАУ.docx
#
18.07.201923.08 Кб3мсу.docx
#
03.06.2015349.13 Кб1139Немецкий язык (технические тексты).pdf
#
03.06.20151.24 Mб6неопр.ин-л и индивид. задания.pdf
#
03.06.20152.05 Mб10неопр.ин-л лекции и практики.pdf
#
30.07.201988.06 Кб3Несчастный случай.doc
#
03.06.201595.11 Кб18Облачные технологии.docx
#
03.06.2015480.43 Кб74Обогащение.docx
#
14.04.2019364.54 Кб99ОБОРУДОВАНИЕ_РЕСПИРАТОРЫ.doc
#
03.06.2015186.88 Кб22Общие требования к оформлению курсовой.doc