неопр.ин-л лекции и практики

Ответы:

Задание 1:

3) x x2 − 2x + 5 −5ln x −1 + x2 − 2x + 5 + C .

41

4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ

4.1. Разложение многочлена на множители

Рассмотрим в комплексной области многочлен, т. е. функцию вида

a1 = b1, …, an = bn.

Определение 2. Число x0 называется корнем многочлена, если Pn(x) = 0.

Сформулируем (без доказательства) основные теоремы о корнях многочленов.

Теорема 1. Если x0 есть корень многочлена Pn (x) , то многочлен де-

лится без остатка на x – x0, т. е. Pn (x) = (x − x0 )Pn−1(x) .

Теорема 2 (основная теорема алгебры). Всякий многочлен в комплексной области имеет, по крайней мере, один корень.

Теорема 3. Всякий многочлен Pn (x) может быть представлен в виде

Pn (x) = an (x − x1)(x − x2 )...(x − xn ) ,

где x1, x2 , ..., xn – корни многочлена, an – коэффициент многочлена при xn .

Доказательство.

Пусть Pn (x) – многочлен степени n, а x1 – его корень. Тогда по теоре-

ме 1

Pn (x) = (x − x1)Qn−1(x) ,

где Qn−1(x) – многочлен степени n – 1.

По основной теореме алгебры Qn−1(x) также имеет корень. Обозначим

его x2 .

Тогда Pn (x) =(x − x1)(x − x2 )Qn−2 (x) , где Qn−2 (x) – многочлен степени n − 2 и т. д.

Пример 1 . Разложить на множители многочлен

P3 = x3 − 2x2 − x + 2 .

42

Решение:

x3 − 2x2 − x + 2 = (x −1)(x +1)(x + 2) .

Пример 2 . Разложить на множители многочлен

P3 = x3 − x2 + 4x − 4 .

Решение:

x3 − x2 + 4x − 4 = (x −1)(x − 2i)(x + 2i) .

Пример 3 . Разложить на множители многочлен

P3 = x 5 − 5x 4 + 12x 3 − 24x 2 + 32x − 16.

Решение:

Нетрудно заметить, что при x = 1 данный многочлен обращается в ноль. Следовательно, он делится на разность x − 1. Выполним это деление:

–16x 2 + 32x

–16x 2 + 16x

16x − 16

16x − 16

0

Таким образом,

x 5 − 5x 4 + 12x 3 − 24x 2 + 32x − 16 = (x − 1)(x 4 − 4x 3 + 8x 2 − 16x + 16).

Далее обратим внимание, что многочлен x 4 − 4x 3 + 8x 2 − 16x + 16 обращается в ноль при x = 2, следовательно, он делится на разность x − 2:

–8x + 16

–8x + 16

0

43

В свою очередь получившийся многочлен x 3 − 2x 2 + 4x − 8 также делится на x − 2, т. е. x = 2 является корнем кратности 2 для исходного многочлена. Действительно,

4x − 8

4x − 8

0

Окончательно имеем

x 5 − 5x 4 + 12x 3 − 24x 2 + 32x − 16 = (x − 1)(x − 2)2 (x 2 + 4).

Среди корней многочлена Pn (x) один и тот же корень может встре-

титься несколько раз.

Определение 3. Натуральное число k1 называется кратностью корня x1 многочлена Pn (x) , если этот многочлен делится на (x − x1)k1 , но не де-

лится на (x − x1)k1 +1 . Корень кратности 1 называется простым, а корень

кратности больше 1 – кратным.

Тогда разложение многочлена (теорема 3) запишется в следующем ви-

де:

Pn (x) = an (x − x1)k1 (x − x2 )k2 ...(x − xN )kN ,

где xi ≠ x j , k1 + k2 +... + kN = n.

Следовательно, в комплексной области всякий многочлен можно разложить на линейные множители разной кратности.

Теорема 4. Если действительный многочлен Pn (x) имеет комплексный корень x0 = a + ib кратности k, то он имеет также комплексный корень

x0 = a −ib , ему сопряженный той же кратности.

По этой теореме в разложении многочлена с действительными коэффициентами на линейные множители можно выделить сомножители двух типов:

1) действительные корни x1, x2 , ..., xr (r<n), которые дают в разложении множители типа (x − xi )m ;

2) комплексные корни xr+1, xr+2 , ..., xn , которые в разложении дают множители типа (x2 + px + q)m .

44

Следствие, Пусть QP((xx)) – правильная рациональная дробь, тогда в за-

висимости от вида корней знаменателя Q(x) в разложении будут присутствовать следующие слагаемые, представляющие собой простейшие дроби:

46

Для определения неизвестных коэффициентов в приведенных разложениях поступают следующим образом. Левую и правую часть разложе-

ния QP((xx)) , содержащего неизвестные коэффициенты, умножают на Q(x).

Получается равенство двух многочленов. Из него получают уравнения на искомые коэффициенты, учитывая, что:

1)равенство справедливо при любых значениях х (метод частных значений). В этом случае получается сколько угодно уравнений, любые m из которых позволяют найти неизвестные коэффициенты;

2)совпадают коэффициенты при одинаковых степенях х (метод неопределенных коэффициентов). В этом случае получается система m – уравнений

сm – неизвестными, из которых находят неизвестные коэффициенты;

3)комбинированный метод.