неопр.ин-л лекции и практики
.pdfПрактическая часть
«Техника интегрирования»
Интегрирование в отличие от дифференцирования требует от решающего известной изобретательности и смекалки, что вырабатывается в процессе решения.
Если хотите лучше усвоить интегрирование, решайте больше приме-
ров.
1. Непосредственное интегрирование
Примеры:
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1. ∫(4x3 −3x2 − 2x + 5)dx = ∫4x3dx − ∫3x2dx − ∫2xdx + ∫5dx = |
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= 4 |
∫ |
x3dx −3 x |
2dx − 2 |
∫ |
xdx + 5 |
∫ |
dx = 4 |
x3+1 |
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−3 |
x2+1 |
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− 2 |
x1+1 |
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+ 5x + C = |
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∫ |
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3 +1 |
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2 +1 |
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1 +1 |
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x4 |
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x3 |
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x2 |
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= 4 |
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−3 |
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− 2 |
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+ 5x + C = x4 |
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− x3 − x2 + 5x + C . |
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4 |
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3 |
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2 |
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2. ∫ |
1 |
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1 |
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1 |
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1 |
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1 |
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1 |
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− |
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+ |
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dx = ∫ |
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dx − ∫ |
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dx + |
∫ |
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dx |
= |
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4 |
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x |
3 |
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x2 |
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x4 |
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x3 |
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x2 |
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x |
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= ∫x−4dx − ∫x−3dx + ∫x−2dx = |
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x−4+1 |
|
|
− |
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|
x−3+1 |
|
+ |
|
|
x−2+1 |
|
|
+ C = |
|
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|
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− 4 +1 |
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|
− 2 +1 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x−3 |
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|
x−2 |
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|
|
x−1 |
|
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−3 +1 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
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− |
|
+ |
|
+ C = − |
1 |
x |
−3 |
+ |
1 |
x |
−2 |
− x |
−1 |
|
+ C = − |
|
1 |
|
+ |
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|
1 |
|
− |
1 |
|
+ C . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
−3 |
|
|
− |
2 |
|
|
− |
1 |
3 |
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2 |
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2x3 |
2x2 |
x |
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3x2 |
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xdx |
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3x2 x1 / 2dx |
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= ∫3x2 x1 / 2 x−1 / 3dx = ∫ |
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2+ |
1 |
− |
|
1 |
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|
3. ∫ |
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|
= ∫ |
|
3x |
|
|
3 dx = |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
3 |
|
x |
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|
1 / 3 |
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2 |
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|
x |
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|
|
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13 |
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19 |
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13 |
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13 |
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+1 |
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x 6 |
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x |
6 |
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18 |
6 |
x19 + C . |
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= ∫3x 6 dx = 3∫x 6 dx = |
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3 |
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+ C =3 |
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+ C |
= |
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13 |
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19 |
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19 |
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+1 |
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6 |
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6 |
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4. ∫(sin x +5x2 −ex )dx = ∫sin xdx +5∫x2dx − ∫exdx = |
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= −cos x + 5 x3 |
−ex |
+C . |
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3 |
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5 |
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dx |
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3 |
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5 |
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5. ∫ |
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+5∫x−2 dx |
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+ |
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dx = |
3∫ |
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= 3ln |
x |
− |
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+C . |
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x2 |
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x |
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x |
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x |
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6. ∫ |
|
2 −sin 2 x |
dx = 2∫ |
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|
dx |
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|
− ∫dx = −ctg x − x + C . |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
sin 2 x |
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|
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|
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|
sin 2 x |
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|
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|
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11 |
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7. ∫( |
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x + 5)2 dx = ∫(x −10 |
|
x + 25)dx = ∫xdx −10∫x |
1 |
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2 |
dx + 25∫dx = |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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= x2 |
|
− |
20 |
x3 |
+ 25x + C . |
|
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|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
||||||||
|
|
2 |
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|
|
|
|
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|
3 |
|
|
|
|
|
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|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|||||||||
8. ∫ x |
|
+5x −1 dx = ∫ x |
|
|
+5x |
|
|
− x− |
|
|
dx = ∫x |
|
dx +5∫x |
|
dx − ∫x |
− |
|
dx = |
|||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
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|
|
|
5 |
|
|
|
|
10 |
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
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|
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|
= |
x 2 |
+ |
x |
2 |
|
− 2x 2 +C . |
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
9. ∫ |
2sin x − |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = 2∫sin xdx −8∫ |
|
|
|
|
+ ∫ |
|
|
|
|
= |
|
|
|
||||||||||||||||||
x |
2 |
+ 4 |
x |
2 |
−4 |
x |
2 |
+ 4 |
x |
2 |
−4 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=−2cos x − 4arctg 2x + 14 ln xx +− 22 + C .
10.∫ctg2 xdx = ∫ sin12 x −1 dx = ∫sindx2 x − ∫dx = −ctg x − x + C .
11. |
∫2x 32xdx = ∫(2 32 )x dx = ∫18x dx = |
|
|
18x |
|
+ C . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ln18 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
12. |
∫ |
|
|
dx |
|
|
|
|
= |
∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
= |
1 |
|
arctg |
|
x |
+ C . |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
10 |
+ x2 |
|
|
( 10 )2 + x2 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
13. |
∫ |
|
|
dx |
|
= ∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
= 1 |
|
arcsin |
x |
+ C . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
3 − x2 |
|
|
( 3)2 |
|
− x2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
14. |
∫ |
|
x2dx |
|
= ∫ |
(x2 +1) −1 |
dx = |
∫dx − ∫ |
|
|
|
1 |
|
dx =x − arctg x + C . |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
x2 + |
1 |
|
|
x2 |
+1 |
|
|
|
x2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
15. |
∫ |
|
x4dx |
|
= ∫ |
(x4 −9) +9 |
dx = ∫ |
(x2 −3)(x2 +3) + |
9 |
dx = |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 + |
3 |
|
|
x2 |
+3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 +3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
= ∫(x2 −3)dx +9∫ |
|
|
|
|
|
dx |
3)2 |
|
= x3 |
−3x + 9 |
arctg |
x |
+ C . |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 +( |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e−x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
|
|
|
|||
16. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫exdx + ∫x 2 dx = |
|
|
||||||||||||||||||||
∫ex 1 + |
|
|
3 |
dx |
= ∫ ex + |
|
3 |
dx |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
3 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
= ex |
+ |
x |
|
2 |
|
|
+C = ex |
+ |
|
x |
2 |
|
|
+ C |
= ex − |
2 |
+C . |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
− |
3 |
|
+1 |
|
− |
|
1 |
|
|
x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Внесение под знак дифференциала
Примеры:
1. |
∫sin 3xdx = |
1 |
∫sin 3xd(3x) = −1 cos3x + C . |
||||||||||||
|
|
|
dx |
|
|
3 |
|
|
|
d(3x) |
|
|
3 |
||
2. |
∫ |
|
= |
= |
|
1 |
∫ |
= − |
1 |
ctg3x + C . |
|||||
|
|
|
|
sin 2 3x |
|
||||||||||
|
|
|
sin 2 3x |
|
3 |
|
|
3 |
|||||||
3. ∫ |
|
dx |
|
= 1 |
∫d(2x +3) = |
1 ln | 2x +3 | +C . |
|||||||||
|
2x +3 |
||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
2x +3 |
|
2 |
|
|
4.∫e2xdx = 12 ∫e2xd(2x) = 12 e2x + C .
5.∫cos(7x −5)dx = 17 ∫cos(7x −5)d(7x −5) = 17 sin(7x −5) + C .
6.∫ctg xdx = ∫cossin xx dx = ∫dsinsinxx = ln sin x + C .
7. ∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
= |
∫ |
|
|
|
|
d(x −3) |
= |
1 |
ln |
x −3 − 3 |
+C . |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
x2 −6x +6 |
|
(x −3)2 −3 |
|
|
(x −3)2 −3 |
|
2 3 |
|
|
x −3 + 3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8. ∫esin x cos xdx = ∫esin x d sin x = esin x + C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
d(1+ x |
) |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
9. ∫ |
|
|
|
= ∫ |
|
|
3 |
|
|
= |
|
∫ |
|
|
|
= |
ln |1+ x |
| +C . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
+ x3 |
1+ x3 |
3 |
|
1+ x3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
10. ∫ |
|
|
cos6x |
|
dx = ∫ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
6cos6xdx = |
1 |
|
∫(sin 6x)−4 d(sin 6x) = |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin 4 6x |
6(sin 6x)4 |
6 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
|
(sin 6x)−4+1 |
+ C = (sin 6x)−3 |
+ C = − |
|
|
1 |
|
|
|
+ C. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 4 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
6 (−3) |
|
|
|
|
|
|
18sin3 |
6x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
cos3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d(sin 3x − 4) |
= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
11. ∫ |
|
|
|
|
|
dx = ∫ |
3 |
∫(sin 3x − 4)− 15 d(sin 3x − 4) = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
5 sin 3x − 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 sin 3x − 4 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
= 1 |
|
(sin 3x − 4)− |
1 |
+1 |
|
|
+ C = |
(sin 3x − 4) |
−1+5 |
|
+ C = |
(sin 3x − 4) |
4 |
|
+ C = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
|
5 |
5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
− |
|
1 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
−1 + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 4 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
5 (sin 3x − 4)4 |
+ C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
12. ∫ |
|
|
|
|
arctg x |
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
arctg xd(arctg x) = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
(arctg x)2 +C = |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 |
(arctg x)3 |
+C . |
|
|
|
|
|
||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13. ∫ |
= |
1 |
|
∫ d( |
5x) |
= |
1 ln |
5x + |
1 +5x2 |
+C . |
|
||||||||||||
|
1 +5x2 |
|
|
|
5 |
|
1 + ( 5x)2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
14. ∫ |
dx |
= ∫ |
dx |
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
dx |
|
= ∫ |
|
|
|
|
|
d (x / 2) |
|
= |
||
|
|
|
|
x |
|
2sin(x / 2)cos(x / 2) |
sin(x / 2)cos(x / 2) |
||||||||||||||||
|
sin x |
sin 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||
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d(x / 2) |
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|||||
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|
= ∫ |
cos2 (x / 2) |
= ∫ |
d(tg(x / 2)) |
= ln |
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tg |
x |
|
+ C . |
|
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|||||||||
|
|
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|
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|||||||||||||||||
|
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sin(x / 2) |
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tg(x / 2) |
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2 |
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|
cos(x / 2)
15. Не всегда первообразные от одной и той же подынтегральной функции совпадают, что зависит от метода интегрирования.
Вычислим ∫cosdxx .
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1 |
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d |
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x |
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||||||
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x |
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x |
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|||||||
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dx |
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dx |
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cos |
2 |
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2 |
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d tg |
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|||||||||||||||||||||||||
1 способ: ∫ |
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= ∫ |
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= 2∫ |
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|
2 |
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= −2∫ |
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2 |
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|
= |
|||||||||||||||||||||||||||
|
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||||||||||||||||||||||||
cos x |
|
|
|
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|
2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x |
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
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|
2 |
x |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
−sin |
|
|
|
|
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1 − tg |
2 x |
|
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|
tg |
−1 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
2 |
|
|
|
|
2 |
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|
|
|
2 |
|
|
|
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|
|
2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
1 |
ln |
|
tg |
|
x |
|
−1 |
|
+С = ln |
|
tg |
|
x |
|
+1 |
|
+С, |
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
= −2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
tg |
|
|
|
|
+1 |
|
tg |
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
π |
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|||||||
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|
dx |
|
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|
|
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|
|
dx |
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d x + |
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|
c учетом |
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||||||||||||||||||||||
2 способ: ∫ |
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|
= ∫ |
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|
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|
|
|
|
|
|
|
= |
|
∫ |
|
|
|
|
|
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|
2 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
задачи |
14 |
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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|
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|
|
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|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
sin x + |
2 |
|
|
|
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|
sin x |
2 |
|
|
|
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|
|
|
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|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||
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|
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|
x + π |
|
|
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|
|
x |
|
|
|
|
|
π |
|
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||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= ln |
tg |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
+C = ln |
|
|
|
|
|
|
|
+ C . |
|
|
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|
|
|
|
|
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|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
16. ∫x |
3 |
e |
x 4 |
dx = |
∫e |
x 4 |
(dx |
4 |
) |
= |
|
e |
x 4 |
|
+ C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin xdx = ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||||
17. |
∫ |
|
|
arcsin x d (arcsin x) = 2 (arcsin x) |
|
|
+ C . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
1 ln(x2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 + x4 )+ C . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
∫ |
x |
dx =∫ |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
18. |
|
|
|
|
|
|
|
= |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
1 + x4 |
|
|
|
1 |
+ (x2 )2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
19. |
|
3x2 |
+1 |
|
|
dx = ∫ |
|
d (x3 |
|
+ x + |
2) |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = ln |
|
|
|
|
x |
|
+ x + 2 |
|
+ C . |
|
||||||||||||||
x3 + x + |
2 |
|
|
x3 |
+ x + 2 |
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
20. |
∫(ln x) |
2 dx |
= |
∫(ln x) |
2 |
d(ln x) = |
(ln x)3 |
+ C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
21. |
∫3 1 +3sin x cos xdx = |
1 |
∫3 1 |
+ 3sin x d(1 + 3sin x) = |
(1 |
+ 3sin x) 3 |
+ C . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
4 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
d(arccos x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
22. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
= −∫ |
= |
|
|
|
|
|
|
|
+ C . |
|
||||||||||||||||||||||
(arccos x)5 |
1 − x2 |
|
|
|
|
4arccos4 x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(arccos x)5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
23. |
∫ |
|
dx |
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
d(x +1) |
= |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
− x |
2 − 2x +8 |
|
|
|
|
|
|
− x2 − 2x −1 + 9 |
|
|
|
|
9 − (x +1)2 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
= ∫ |
dt |
|
|
|
|
= arcsin t |
+C = arcsin x +1 |
+C. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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32 −t 2 |
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3 |
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|
3 |
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|||||||
24. |
∫cos x −sin xdx = ∫d(sin x + cos x) |
= ln |
|
sin x + cos x |
|
+ C . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
sin x + cos x |
|
|
|
|
|
|
sin x + cos x |
|
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||||||||||||
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||||||||||||||
|
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3. Замена переменной в интеграле |
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Пример 1. Вычислить∫ |
|
1 − x2 dx . |
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Решение:
Подынтегральная функция определена при | x |≤1. Выполним замену
x =sin t , где |
|
π |
, |
π |
. Тогда |
dx = (sin t)′dt = cos t dt , |
1 −sin |
2 |
t = cos t . |
t − |
2 |
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Следовательно,
∫ |
1 − x2 dx = ∫cos2 t dt = |
1 |
∫(1 + cos 2t) dt = |
1 t + |
1 sin 2t + C . |
|
|
2 |
|
2 |
4 |
Возвращаясь к переменной x =sin t посредством равенства t = arcsin x , получим
15
∫ 1 − x2 dx = 12 arcsin x + 12 x 1 − x2 + C .
Пример 2. Вычислить интеграл J = ∫x x −5dx .
Решение:
Пусть x −5 = t , отсюда x −5 = t 2 , x = t 2 +5 , dx = 2tdt . Подставив в интеграл, получим
|
|
|
J = ∫(t 2 + 5)t 2tdt = 2∫(t 4 + 5t 2 )dt = 2 t5 |
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|
+10 t3 |
|
+ C . |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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5 |
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|
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|
3 |
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|
|
|
|
|
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|
|||||||
Возвратимся к прежней переменной x: J = |
2(x −5) |
5 |
|
|
|
10(x −5) |
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
+ |
2 |
|
+C . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
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|
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|
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|
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|
|
dx |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||
Пример 3. Вычислить интеграл J = ∫ |
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|
. |
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|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||
1+ex |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение: |
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|||||||||
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|||||
Применим подстановку 1 + ex =t , отсюда ex = t −1, |
x ln e = ln(t −1) , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x = ln(t −1) , |
dx = |
dt |
. |
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|||||||
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
t −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Тогда |
J = ∫ |
|
|
|
dx |
|
|
= ∫ |
|
|
|
dt |
|
|
. Но |
|
1 |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
− |
1 |
, |
поэтому |
||||||||||||||||||||
1 |
+ex |
|
t(t −1) |
|
|
t(t −1) |
|
t |
− |
1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dt |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
J = ∫ |
− ∫ |
= ln |
|
t −1 |
|
|
−ln |
|
t |
|
+C , или окончательно |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
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|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
t −1 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
+C = x −ln(1 + ex )+C . |
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||||||||||||||||
|
|
|
|
|
J = ln |
|
|
|
|
ex |
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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|
|
|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
+ ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
sin 2xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||
Пример 4. Вычислить интеграл J = ∫ |
. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение: |
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|
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|
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|
|
|
|
1+sin 2 x |
|
|
|
|
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|
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|
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|||||||||||||
|
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|
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|||||
1 +sin 2 x = t , 2sin x cos xdx = dt , sin 2xdx = dt . Тогда |
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
J = ∫ |
dt |
|
= ln |
|
t |
|
+C = ln(1+sin 2 x)+C . |
|
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|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
1 +ln x |
|
|
|
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|
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|||||||||||||
Пример 5. Вычислить интеграл J = ∫ |
dx . |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 + x ln x |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение: |
|
|
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|
|
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|
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||||||||||||||
|
|
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|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3 + x ln x = t , (1 + ln x)dx = dt , тогда J = ∫ |
= ln |
|
3 + x ln x |
|
+C . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 6. Вычислить интеграл J = ∫ |
t |
|
|
dx |
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x −5(1 + 3 x |
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
−5) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
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|
16 |
|
|
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|
|
|
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|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
Решение:
|
|
∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
= x −5 = t 6 ; t = 6 x −5; = |
∫ |
|
6t5dt |
|
= |
|||||||||||||
|
|
|
|
x −5(1 +3 x − |
5) |
t3 (1 + t 2 ) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x = t 6 +5; dx = 6t5dt |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
6t5dt |
|
|
|
|
t 2dt |
|
(t 2 +1 −1)dt |
|
|
|
|
∫dt − ∫ |
dt |
|
|
|
= 6(t − arctgt) + C = |
||||||||||
= ∫ |
|
|
|
= 6∫ |
|
|
= 6∫ |
|
|
|
|
|
|
= |
6 |
|
|
|
|
|||||||||
t3 (1 + t |
2 ) |
t 2 +1 |
|
|
|
t 2 +1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 2 +1 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= 6(6 x − 5 − arctg 6 x −5 )+ C . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Пример 7. Вычислить интеграл ∫ |
|
|
x2 −1 |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Решение: |
|
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|
|||||
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
−1, x = |
t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x |
2 |
|
t = |
|
|
|
|
|
+1 |
= ∫ |
t |
|
|
|
t |
dt = |
||||||||||
|
∫ |
|
x |
−1dx = |
|
|
|
|
2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
+1 t2 +1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
t |
2 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
t 2 +1 −1 |
dt = ∫dt − ∫ |
1 |
dt =t − arctgt + C = |
|
x2 −1 − arctg x2 −1 + C . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
t 2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos 6x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Пример 8. Вычислить интеграл ∫ |
dx. |
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
Решение: |
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|
|
|
|
|
sin4 6x |
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||||||||||
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|
|
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|
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|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
cos6x |
|
|
|
|
|
|
t =sin6x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
t |
−4+1 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
∫t−4dt = |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
|
|
|
|
|
dx |
= |
dt =6cos6xdx |
= ∫ |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+C = |
||||||||||||||||||||
|
sin4 |
6x |
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6 |
6 |
− |
4 +1 |
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1 |
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t4 |
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cos6xdx = |
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dt |
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6 |
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||||||||
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t−3 |
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|||||
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=− |
|
+C =− |
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1 |
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+C =[t =sin6x]=− |
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1 |
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+C. |
||||||||||||||||||||||||||||||
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6 3 |
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18 t3 |
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sin 2x |
18 sin3 6x |
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Пример 9. Вычислить интеграл ∫ |
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dx . |
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Решение: |
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3 cos4 2x |
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|||||||||||||
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|||||
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1 |
|
|
|
|
|
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|
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||
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|||
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|
sin 2x |
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t = cos 2x |
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|
|
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|
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− |
|
dt |
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|
1 |
|
|
− |
4 |
|
|
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|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
2 |
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
= ∫ |
|
|
|
|
|
3 dt = |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
dx = dt = −2sin 2xdx |
3 |
|
= − |
2 |
∫t |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
cos |
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
t |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
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|
|
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|
|
= − |
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
sin 2xdx |
2 |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
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|||||||||||||
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17
|
|
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− |
4 |
+1 |
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|
||||
|
|
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− |
1 |
|
t |
3 |
+C = |
|
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|||||||||
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||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
− |
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
−4+3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
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|
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|
|||||
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
||||||
= − |
3 |
+C = − |
|
t |
3 |
|
|
|
+C = |
|
|
+ С |
= |
+ C = |
|
+ C. |
||||||||||||||||
2 |
−4 +3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
1 |
|
23 |
23 |
|
|||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
cos 2x |
|
||||||||||||
|
|
|
3 |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
Пример 10. Вычислить интеграл |
J = ∫ |
ln2 t + |
ln t |
dt . |
||||||||||
t |
|
|
|
|||||||||||
Решение: |
|
|
|
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|
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|
|
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|
|
||
|
ln t = x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
ln2 t + ln t |
|
= ∫(x |
|
+ x )dx = |
|
|
|
|
|||||
J = ∫ |
dt = |
|
|
dt |
|
2 |
∫x |
2 |
dx + ∫ xdx = |
|||||
t |
dx |
= |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
= x3 |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2 |
x3 |
+ C = ln3 t + 2 |
( ln t )3 |
+ C. |
|
||||||||
|
3 |
3 |
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
4. Интегрирование по частям
4.1. Простейшие примеры
u = x −7; |
du = dx |
|
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|
1. ∫(x −7) sin 5x dx = |
|
1 |
|
= |
dv = sin 5xdx; |
v = ∫dv = ∫sin 5xdx = − |
|
cos 5x |
|
5 |
|
|||
|
|
|
|
=−15 cos 5x (x −7) − ∫− 15 cos 5xdx = −15 cos 5x (x −7) + 15 ∫cos 5xdx =
=−15 cos5x (x −7) + 15 15 sin 5x +C = −15 cos 5x (x −7) + 251 sin 5x +C .
2.∫(x + 2)e
=13 e3x (x + 2) −
|
|
|
|
u = x + 2; |
du = dx |
||||||
3x dx = |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
dv = e3xdx; v = ∫e3x |
|||||||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
∫ |
e |
3x |
dx = |
e |
3x |
(x + 2) − |
|
||||
3 |
|
3 |
|
3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = 1 e3x =
3
13 e3x + C = 13 e3x (x + 2) − 19 e3x + C .
18
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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dx |
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t =1 + x2 |
|
|||||
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|
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|
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|
|||||||||
3. ∫arctgxdx = |
u |
= arctg x; |
du = |
|
|
|
|
|
|
|
= xarctg x − ∫ |
|
|
xdx |
= |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||
1 + x2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + x |
|
dt = 2xdx |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
dv = dx; |
|
|
|
|
v = x |
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
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|
||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
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|
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|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= xarctg x − |
|
1 ∫dt |
= xarctg x |
|
− |
1 ln(1 |
+ x2 ) |
+ C . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 4dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 4xdx |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
u = arccos4x;du = |
1 −16x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
= |
|
|||||||||||||||||||||||||
∫arccos4xdx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
= xarccos 4x − |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v = x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 −16x2 |
|
||||||||
|
|
d (1 − |
dv = dx; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
16x2 )= −32xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= |
|
|
1 |
d (1 −16x |
2 |
|
|
= xarccos4x − |
|
∫(1 |
−16x |
|
|
) 2 d (1 |
−16x |
|
)= |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
8 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
− 4xdx = |
8 |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= xarccos 4x − 1 |
(1 −16x2 )− |
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
+ C = xarccos 4x − |
|
|
|
|
1 −16x2 + C . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
− |
|
1 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5. |
|
|
|
|
|
|
2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= x2ex − 2 |
|
xexdx = |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
∫ |
x2exdx = u = x |
|
|
|
|
|
du = 2xdx |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dv = exdx; v = ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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= |
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u = x |
dv = exdx |
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= x2ex − 2(xex − ∫exdx) = x2ex − 2xex + 2ex + C . |
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du = dx |
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v = ex |
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6. |
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dx |
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du = |
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dx |
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u = ln x; |
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∫ln xdx = |
= dx; |
v = x |
x |
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= xln x − ∫x x |
|
= xln x − ∫dx = xln x − x + C . |
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dv |
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u = log2 x; |
du = |
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1 |
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dx |
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1 |
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7. ∫log2 xdx = |
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ln 2 |
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x |
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= xlog2 x − |
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∫dx |
= |
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ln 2 |
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v = x |
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dv = dx; |
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= xlog2 x − |
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x |
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+ C . |
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ln 2 |
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19
8.
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du = |
|
dx |
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2 |
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2 |
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|
u = arcsin x; |
|
1 − x2 |
|
= x |
|
x |
dx |
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|
|||
∫x arcsin x dx = |
|
|
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|
arcsin x − ∫ |
|
|
= |
||||
|
v = x |
2 |
|
|
2 |
|
2 1 − x |
2 |
|
|||
dv = xdx; |
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||||
|
2 |
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= x =sin t; dx = costdt = |
x2 |
|
arcsin x − |
1 ∫sin 2 tdt = |
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|
|
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cost = |
1 −t 2 |
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2 |
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|
2 |
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|||||
|
|
x2 |
|
|
|
1 |
∫(1 − cos 2t)dt |
|
|
x2 |
|
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|
1 |
|
sin 2t |
|
|
|||||
|
= |
|
arcsin x − |
|
= |
|
|
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|
arcsin x |
− |
|
|
t − |
|
|
+ C |
= |
|||||
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2 |
4 |
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2 |
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4 |
|
2 |
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||||||
= |
x2 |
arcsin x − |
t |
+ |
sin t cost |
+C = |
x2 |
arcsin x − |
arcsin x |
+ |
x 1 − x2 |
+C . |
|||||||||||
2 |
4 |
|
4 |
2 |
|
|
|
4 |
|
4 |
|||||||||||||
|
|
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9. ∫ex x3dx = ∫x3 (ex dx) = ∫x3dex = x3ex − ∫ex dx3 = |
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|
= x3ex − ∫ex 3x2dx = x3ex −3∫x2 (exdx) = |
|
|
|
||||||||||||||||
= x3ex −3∫x2dex |
= x3ex −3(x2ex −∫ex dx2 ) = x3ex −3(x2ex −∫ex 2xdx) = |
= x3ex −3x2ex + 6∫xdex = x3ex −3x2ex + 6(xex − ∫exdx) =
=х3ex −3x2ex + 6xex − 6∫exdx =
=x3ex −3x2ex +6xex −6ex +C = ex (x3 −3x2 +6x −6) +C .
4.2.Возвратные интегралы
Пример 1. Вычислить интеграл I = ∫ a2 − x2 dx .
Решение: |
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u = |
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xdx |
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2 |
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2 |
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a2 |
− x2 |
; du = |
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I = ∫ |
a |
− x |
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a2 − x2 |
|
= |
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|||
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dx = |
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v = x |
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dv = dx; |
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|||||
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= x a2 − x2 + ∫ |
x2dx |
= x a2 |
− x2 − ∫ |
− x2dx |
= |
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|
a2 − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 − x2 |
|
|
|
= x a |
2 |
− x |
2 |
−∫ |
(a2 |
− x2 ) −a2 |
dx = x a |
2 |
− x |
2 |
−∫ |
a2 |
− x2 |
∫ |
a2 |
||||||||
|
|
|
a2 − x2 |
|
|
|
a2 |
|
dx + |
a2 |
dx = |
||||||||||||
|
|
|
|
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|
− x2 |
|
− x2 |
20