неопр.ин-л лекции и практики
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3.5. Вычисление интеграла J5 = |
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Ax + B |
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dx, k ≥ 2 |
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∫( x2 |
+ px + q)k |
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Проведем преобразования: |
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A |
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Ap |
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Ax + B |
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dx = ∫ |
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(2x |
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+ p) + (B − |
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) |
dx = |
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J5 = ∫ |
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2 |
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2 |
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(x2 + px + q)k |
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(x2 + px + q)k |
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A |
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2x + p |
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Ap |
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1 |
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dx. |
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= |
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∫ |
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dx + B − |
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∫ |
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|||||||||||||||
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2 |
(x2 + px + q)k |
2 |
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(x2 + px + q)k |
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Первый интеграл сводится к интегралу от степенной функции подста- |
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новкой x2 + px + q = t; (2x + p)dx = dt : |
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∫ |
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2x + p |
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dx = ∫ |
|
dt |
= |
|
t−k +1 |
+C = |
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1 |
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+C. |
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(x2 + px |
+ q)k |
|
tk |
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1 − k |
|
(1 − k)(x2 + px + q)k −1 |
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Второй интеграл (обозначим его Jk ) запишем в виде |
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Jk |
= ∫ |
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dx |
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= |
∫ |
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1 |
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dx = ∫ |
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dt |
|
, |
||||||||||
(x2 + px + q)k |
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p |
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2 + (q − |
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p2 |
k |
(t 2 + m2 )k |
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(x |
+ |
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) |
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) |
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2 |
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4 |
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|||||||
где мы положили x + |
|
p |
|
=t; dx = dt; |
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q − |
p2 |
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= m2 > 0. |
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2 |
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4 |
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||||
Для этого вида интеграла в прим. 6 разд. 2.3. была получена рекур- |
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рентная формула |
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1 |
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t |
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2k −1 Jk . |
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Jk +1 = |
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+ |
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||||||||||||||||||
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2km2 (t2 + m2 )k |
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2km2 |
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Для J1 имеем J1 |
= ∫ |
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dt |
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= |
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1 |
arctg |
t |
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+ C . |
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||||||||||||||||||||||||||
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t 2 + m2 |
|
m |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
m |
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|
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Далее ищем J2 , полагая k =1, ищем J3, |
полагая k = 2, |
и т. д. |
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Пример 8. Вычислить интеграл J = ∫ (x2 1+ 4)3 dx.
Решение:
Запишем рекуррентное соотношение
Jk +1 = |
1 |
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x |
+ |
2k −1 Jk . |
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2km2 (x2 + m2 )k |
||||||
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2km2 |
||||
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31 |
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Имеем |
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|||||
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1 |
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|
1 |
|
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|
x |
|
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3 |
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1 |
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|
x |
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|||||
J3 |
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|
|
= ∫ |
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2 |
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3 dx = |
|
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|
2 |
|
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|
|
2 |
|
+ |
|
|
|
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|
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J2 |
= |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
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|
; |
|||||||||||||||||
(x |
+ |
4) |
2 |
2 |
4 |
|
(x |
+ 4) |
|
2 |
2 |
4 |
|
16 |
|
(x |
+ 4) |
2 +3J2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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J2 |
= ∫ |
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1 |
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dx = |
|
1 |
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|
x |
|
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|
1 |
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J1 = |
1 |
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|
x |
|
|
|
|
+ J1 |
|
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||||||||||||||||||||||
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|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
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|||||||||||||||||||||
(x2 + |
4)2 |
2 |
1 |
4 (x2 + 4) |
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2 1 4 |
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2 + 4 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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8 x |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
J1 = ∫ |
|
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|
dx |
|
|
= |
|
1 |
arctg |
x |
+ C. |
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||
x2 + |
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
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|
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|
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|||||||||||||||||||||||
Тогда |
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|
2 |
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
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|
|
|
|
|
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|
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|
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|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
J2 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
arctg |
|
|
|
+ C ; |
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
x2 + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||||||||
J3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 + 3J2 |
= |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
arctg |
|
|
+ C. |
||||||||||||||||||||||||
16 |
|
(x |
+ 4) |
|
16 |
|
|
(x |
|
+ 4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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8 (x |
|
+ 4) |
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3.6. Вычисление интеграла J6 = ∫ ax2 + bx + c dx
Интегралы вида ∫ ax2 + bx + c dx ( a ≠ 0 ) с помощью операции выде-
ления полного квадрата приводятся к одному из табличных интегралов (13–14) (в зависимости от знака a ).
Пример 1. Вычислить ∫ x2 − 4x +13 dx .
Решение:
∫ x2 −4x+13 dx = ∫ (x−2)2 +9 d(x−2) =
=[(x−2) (x−2)2 −9 + 92 ln (x−2)+ (x−2)2 +9 ]+ C =
=(x − 2) x2 − 4x +13 + |
9 |
ln (x − 2)+ x2 |
− 4x +13 +C. |
|
2 |
|
|
Пример 2. Вычислить ∫ 12 + 4x − x2 dx .
Решение:
∫ 12 +4x − x2 dx = ∫ −[(x2 −4x +4) −4 −12]dx = ∫ 16 −(x −2)2 d(x −2) =
=x−22 16−( x−2)2 + 162 arcsin x−42 + C =
= |
x−2 |
12+4x−x2 + 8 arcsin |
x−2 |
+ C. |
2 |
|
|||
|
4 |
|
||
|
|
32 |
|
|
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3.7. Вычисление интеграла J7 = |
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dx |
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||
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∫(Mx + N ) ax2 + bx + c |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Интегралы |
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вида |
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∫ |
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dx |
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подстановкой |
t = |
1 |
||||||||||||||||||||||
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Mx + N |
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(Mx + N ) ax2 +bx +c |
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||||||||||||||||||||
сводятся к интегралам, рассмотренным в разд. 3.1–3.5. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример. |
Вычислить ∫ |
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dx |
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|
. |
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||||||||||||||||||||
(x |
−4) x2 +6x +15 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||
Решение: |
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1 |
|
|
|
|
|
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|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
dx |
|
|
|
|
|
|
t = |
|
|
, x − 4 = |
|
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|
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||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
x − 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
= |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x − 4) |
x |
2 |
+ 6x +15 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
= t + 4, dx = −t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+ 4 |
|
+ |
|
6 |
|
|
|
+ 4 |
|
+15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
+ |
16 |
+ |
|
|
+ 24 |
|
+15 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
t |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= −∫ |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
= − |
|
1 |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
55t 2 +14t +1 |
|
55 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 2 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
55 |
|
|
55 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t + |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
1 |
ln t + |
|
7 |
|
+ t 2 + 14 t + |
|
1 |
|
+ C = |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
55 |
|
|
|
|
55 |
|
|
|
55 |
|
|
|
55 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
1 |
|
ln |
|
|
|
1 |
|
+ |
7 |
|
+ |
|
1 |
2 |
+ |
|
|
|
|
14 |
|
|
+ |
|
1 |
|
|
+C . |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
55 |
|
|
x −4 |
55 |
|
|
|
|
|
55(x − |
4) |
55 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.8. Вычисление интеграла J8 |
= |
∫ |
Pn( x) |
dx |
||
ax2 |
+ bx + c |
|||||
|
|
|
Интегралы типа J8 (где Pn (x) лять, пользуясь формулой
∫ |
Pn (x) |
dx = Qn−1 |
(x) |
||
ax2 |
+ bx + c |
||||
|
|
|
−многочлен степени n ) можно вычис-
ax2 + bx + c + λ∫ |
dx |
, |
|
||
ax2 |
+ bx + c |
|
33
где Qn−1(x) − многочлен степени n −1 с неопределенными коэффициента-
ми; λ – некоторое число.
Коэффициенты многочлена и число λ находятся дифференцированием приведенной формулы.
Пример. Вычислить ∫ |
x2 |
dx . |
|
1 |
− 2x − x2 |
Решение: |
|
По приведенной выше формуле |
|
|
J = ∫ |
x2 |
|
|
dx = ( Ax + B) 1 − 2x − x2 |
|
+ λ∫ |
|
dx |
. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 − 2x − x2 |
|
1 − 2x − x2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Дифференцируя это равенство, получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
x2 |
= A 1 − 2x − x2 + ( Ax + B) |
|
− 2 − 2x |
+ |
λ |
|
|
, |
|
||||||||||||||
или |
1 − 2x − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 − 2x − x2 |
1 − 2x − x2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
x2 = A(1 − 2x − x2 ) + ( Ax + B)(−1 − x) + λ, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
и окончательно |
|
x2 = A −3Ax − 2Ax2 − B − Bx − λ. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа, |
||||||||||||||||||||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
1 |
= −2 A, |
|
|
|
A = − |
2 |
, |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 =3A − B, |
|
|
|
|
3 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
B = |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 = A − B +λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
λ = 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
учетом |
|
|
|
|
||||||
J |
|
1 |
x + |
3 |
− 2x − x2 |
+ 2∫ |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
||||||||
= − |
2 |
1 |
|
|
2 |
= |
− 2x − x2 = 2 − (x |
+1) |
2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 − 2x |
− x |
1 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
− |
1 |
x + |
3 |
|
|
+ 2arcsin |
x +1 |
+ C . |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
= |
2 |
2 |
1 − 2x − x2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
34
Практическая часть
«Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен»
1. ∫ |
dx |
|
= |
1 |
∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
= |
1 |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
= |
||||||||||
2x2 + 6x +10 |
2 |
x2 + 3x + |
5 |
2 |
(x |
2 |
+ 2 |
|
3 |
x + |
9 |
) + 5 |
− |
9 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
4 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
d x |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
= |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
arctg |
|
+ C . |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
11 |
2 |
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
x + |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x +5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
(2x + 4 −4)+5 |
3 |
|
|
|
2x + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2. |
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
dx −1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
∫ |
x2 + 4x + |
8 |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
x2 + 4x + |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
∫ x2 + 4x + |
8 |
x2 + 4x +8 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
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|
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|
|
|
∫ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= |
3 |
∫d (x2 + 4x +8) |
|
− ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
= |
|
|
3 |
ln |
|
x2 |
+ |
4x +8 |
|
− |
|
1 |
arctg |
x + 2 |
+ C . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
x2 + 4x +8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + 4x +8 |
2 |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
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|
|
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|
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|
1 |
(6x |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
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|
|||||||||||
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|
|
|
|
x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2) − |
|
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|
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3. ∫ |
|
|
|
|
dx = ∫ |
|
6 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3x2 + 2x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x2 + 2x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
1 |
|
∫ |
|
|
6x + 2 |
|
dx − |
|
4 |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
ln(3x2 |
+ 2x +1) − |
4 |
∫ |
|
|
dx |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3x2 + 2x +1 |
|
|
|
3 |
3x2 + 2x +1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3x2 + 2x +1 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
1 ln(3x2 + 2x +1) − 4 |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
= |
1 ln(3x2 |
+ |
2x +1) − |
2 |
|
2 arctg 3x +1 + |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + |
3 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|
|||||||||||||
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
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|
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|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
4. ∫ |
6x − 2 |
|
|
|
dx = ∫ |
3(2x − 4) +12 − 2 |
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 − 4x + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 − 4x + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=3∫ |
|
|
|
|
|
|
2x − 4 |
|
dx + |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 − 4x + 5 |
(x − 2)2 − 4 + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
d(x2 − 4x + 5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
dx =3ln |
|
x2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
=3 |
|
+ |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 4x + 5 |
+10arctg(x − 2). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
x2 − 4x + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
(x − 2)2 + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
7x − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
(6x −5) |
+ |
|
|
35 |
|
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
5. ∫ |
|
|
|
|
|
dx = ∫ |
6 |
|
|
6 |
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3x2 −5x + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x2 −5x + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
7 |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6x −5 |
|
|
dx + |
23 |
∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x2 −5x + 4 |
|
3x2 −5x + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35
=
=
C.
|
7 |
|
23 |
|
1 |
|
6 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
= |
6 ln 3x2 −5x + 4 |
+ |
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
= |
||
6 |
3 |
23 |
|
5 2 |
|
23 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
= |
7 ln 3x2 |
−5x + 4 + |
|
|
|
23 arctg 6x −5 + C. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
6 |
5 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
5x −3 |
|
(2x + 6) − |
5 |
6 |
−3 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
(2x + 6) |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
∫ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
6. ∫ |
dx = ∫ |
2 |
2 |
dx − |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 + 6x − 40 |
|
|
|
|
x2 + 6x − 40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + 6x − 40 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
−18∫ |
|
d(x + 3) |
|
|
|
= |
5 |
ln |
|
x2 + 6x − 40 |
|
|
− 18 ln |
|
|
x + 3 − 7 |
|
+ C = |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(x |
+ 3)2 − 49 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
x + 3 + 7 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= 5 ln |
|
x |
2 + 6x − 40 |
|
− 9 ln |
|
|
|
|
x − 4 |
|
|
+ C. |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x +10 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x −3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
7. ∫ |
|
dx = |
∫(x2 − 6x +1) |
|
d(x2 − 6x +1) = x2 − 6x +1 + C . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 −6x +1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
8. ∫ |
x |
|
dx = 1 |
∫ |
|
2x +1 |
dx − |
1 ∫ |
dx |
= |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
x2 + x +1 |
2 |
|
|
|
|
x2 + x +1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
x2 + x +1 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
= x2 + x +1 − 1 ∫ |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + x |
+1 − |
1 |
|
1 |
+ |
|
x2 + x +1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
2 |
ln x + |
2 |
|
+C . |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
3x +4 |
dx = ∫− |
(−2x +6) |
+9 +4 dx = − |
3 |
|
(2x − 6)dx + |
|
|
|||||||||||||||||||
9. ∫ |
|
|
2 |
∫ |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
7 |
− x2 +6x |
|
|
|
|
|
|
|
7 − x2 +6x |
|
|
|
|
2 |
|
7 − x2 + 6x |
|
|
||||||||||
|
|
+13∫ |
d (x −3) |
|
|
= −3 7 − x2 +6x +13arcsin x −3 +C . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
16 −(x −3)2 |
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|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
4 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
3x +5 |
|
|
|
|
|
|
3 |
(2x − 4) + 6 + 5 |
dx = 3 |
|
|
|
|
(2x −4) |
|
|
|
||||||||||
10. ∫ |
|
|
|
|
dx |
= ∫ |
2 |
∫ |
|
|
|
dx + |
|
|||||||||||||||||
|
|
(x2 −4x +7)2 |
|
|
|
|
|
|
(x2 − 4x + 7)2 |
|
2 |
|
(x2 −4x +7)2 |
|
|
|
||||||||||||||
+11 |
|
|
d(x −2) |
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
+11 |
|
|
du |
|
|
|
= |
рекуррентная |
= |
||||||
∫ |
((x −2)2 +3)2 |
|
|
|
2(x2 −4x +7) |
|
∫ |
|
(u2 +3)2 |
|
|
|
|
формула |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
36
|
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|
|
|
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|
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|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
+11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(x2 −4x + |
7) |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
u2 +3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(u2 +3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
11u |
|
|
|
+ |
11 |
|
arctg |
|
u |
|
|
+C = |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(x2 −4x + |
7) |
6(u2 + |
3) |
6 3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
11(x −2) |
|
+ |
11 |
arctg x −2 +C. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2(x2 −4x +7) 6(x2 −4x +7) |
6 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5x + 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
(2x + 6) −15 + 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
11. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
∫ |
|
2 |
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(x2 + 6x + |
15)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 + 6x +15)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
5 |
∫ |
|
|
|
|
(2x + 6)dx |
|
|
|
|
− |
9∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
(x2 + 6x +15)3 |
|
(x |
2 + 6x +15)3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
−9 ∫ |
|
|
|
|
|
d(x + 3) |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
((x + 3)2 + 6)3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
+ 6x +15)2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
5 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
= |
|
рекуррентная |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−9 ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
− |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(u2 + 6)3 |
|
|
|
формула |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 (x2 +6x +15)2 |
|
|
|
|
|
|
4 (x2 +6x +15)2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
arctg |
|
x + 3 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
x + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 3 |
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||
|
−9 |
4 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
2 6((x + 3)2 + 6) |
|
4 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
+ 3)2 + |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 6 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
((x |
6)2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
|
|
|
|
−5 |
|
|
|
|
|
− |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
arctg |
x +3 |
|
− |
|
3 |
|
|
|
|
|
x +3 |
|
|
|
|
− |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
x +3 |
|
|
+C. |
|||||||||||||||||||||||||
4(x2 +6x +15)2 |
|
|
32 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
32 (x2 +6x +15) |
|
8 (x2 + 6x +15)2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12. |
∫ |
6 −5x −3x2 dx = |
|
|
|
3∫ |
− x2 |
− |
5 |
x +2 dx |
= |
|
|
|
3∫ |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
2 |
+ |
25 |
+2 dx = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
x + |
6 |
|
|
36 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=3∫ 9736 −(x+56 )2 d (x+56 )=
|
|
( |
|
) |
|
|
|
( |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
x+ |
5 |
|
97 |
− x+ |
5 |
2 |
+ |
97 |
arcsin |
x+5 / 6 |
|
+ C = |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
6 |
|
|
36 |
6 |
|
|
36 |
97 / 36 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
= |
3 |
|
|
|
5 |
2 |
− |
5 |
x − x |
2 |
+ |
97 |
arcsin |
6x +5 |
|
+C = |
||||||||
|
|
x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
6 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
36 |
|
|
97 |
|
|
|
|
||
= |
1 |
(6x + 5) |
|
6 −5x −3x2 |
|
+ |
97 |
3 arcsin 6x + 5 |
+ C . |
||||||||||||||||
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
72 |
|
97 |
|
37
|
∫ 3x2 |
−5x+6 dx = 3 ∫ |
x− |
5 2 |
+ |
47 |
d x− |
5 |
|
= |
||
|
|
|
|
|
|
|||||||
13. |
6 ) |
36 |
6 ) |
|||||||||
|
|
( |
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
)( |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
) |
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
= |
3 |
x− |
5 |
|
|
x− |
5 |
|
2 + |
47 |
|
+ |
47 |
ln |
x− |
5 |
|
+ |
|
x− |
5 |
2 + |
47 |
|
+ C = |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
36 |
|
|
36 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
36 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
1 |
(6x −5) 3x2 −5x |
|
|
|
|
|
|
47 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 − |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
+6 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x − |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
x |
+ 2 |
+C . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
12 |
|
|
72 |
|
6 |
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
t |
= |
1 |
, x = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
||||||||||||||||||
14. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
= |
x |
|
t |
|
= ∫ |
|
|
|
|
|
t 2 |
|
|
|
|
|
= |
|
− ∫ |
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
x 5x2 |
− 4x |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 5 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 − 4t + t 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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dx = −t 2 |
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− |
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+1 |
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|||||||||||||||||||
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t |
|
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t 2 |
t |
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
= −ln t − 2 + 1 − (t − |
2) |
2 |
|
|
|
+ C = = −ln |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
+C . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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x − |
2 |
|
|
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|
1+ |
x |
−2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|||||||
15. J = ∫ |
|
|
x2 |
|
dx = ( Ax + B) x2 + x +1 + λ∫ |
|
|
|
dx |
|
|
. |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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x2 + x +1 |
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x2 + x +1 |
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||||||||||||||
Дифференцируя это равенство, получаем |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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x2 |
|
= A |
|
|
x2 + x +1 + ( Ax + B) |
|
|
|
2x +1 |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
λ |
|
|
, или |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 + x +1 |
|
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|
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2 x2 + x +1 |
|
|
x2 + x +1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 = A(x2 + x +1) +( Ax + B)(x + |
|
1) +λ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
1 |
|
|
|
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|
|
|
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|
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|||||||
|
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|
|||||||
|
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|
|
|
|
|
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|
x2 |
|
1 = 2A, |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
A |
= |
2 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||
|
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|
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|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
= |
|
3 |
A − B, |
|
|
|
|
|
= − |
|
3 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
2 |
|
|
B |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 = A + |
|
|
|
|
|
+λ |
|
|
|
λ = − |
8 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
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|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
учетом |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
J = |
x − |
|
x |
2 |
+ x +1 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
= |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2 |
4 |
|
|
|
8 ∫ |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x + |
)2 |
+ |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
+ x +1 |
|
|
|
x2 + x +1 = |
2 |
4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
− |
|
|
|
|
+ x +1 − |
|
1 |
ln x + |
1 |
|
+ x2 |
|
+ x +1 + C . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= |
2 |
x2 |
|
|
8 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
38 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16. ∫ |
3x3 −7x2 +1 dx = ( Ax2 + Bx +C) |
x2 − 2x +5 + λ∫ |
dx |
. |
|
x2 − 2x +5 |
|
x2 − 2x +5 |
|
Продифференцируем полученное |
выражение, |
умножим |
на |
ax2 +bx + c и сгруппируем коэффициенты при одинаковых степенях х:
3x3 −7x2 +1 = (2Ax + B) x2 − 2x +5 + Ax2 + Bx +C (x −1) + |
λ |
; |
||||||
x2 − 2x +5 |
|
|
|
x2 − 2x +5 |
|
x2 − 2x +5 |
|
|
(2Ax + B)(x2 −2x +5) +( Ax2 + Bx +C)(x −1) +λ= 3x3 −7x2 +1; |
|
|||||||
2Ax3 − 4Ax2 +10Ax + Bx2 − 2Bx +5B + Ax3 + Bx2 +Cx − Ax2 − Bx −C + λ= |
||||||||
|
|
|
=3x3 − 7x2 +1; |
|
|
|
|
|
3Ax3 −(5A −2B)x2 +(10A −3B +C)x +5B −C +λ = 3x3 −7x2 +1; |
|
|||||||
x3 |
|
3A =3, |
|
A =1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
5A −2B = 7, |
|
B = −1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
x1 |
|
10A −3B +C = |
C = −13, |
|
|
|||
|
0 |
|
5B −C +λ =1. |
|
λ = −7. |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫3x3 −7x2 +1 dx = (x2 − x −13) |
x2 − 2x +5 −7∫ |
dx |
= |
|
||||
x2 − 2x +5 |
|
|
|
|
|
(x −1)2 |
+ 4 |
|
= (x2 − x −13) x2 − 2x +5 −7 ln(x −1 + |
x2 − 2x +5) +C. |
|
17. J = ∫(4x2 − 6x) x2 + 3dx .
Сведем интеграл к виду J8 :
J = ∫(4x2 − 6x) x2 + 3dx = ∫ |
(4x2 − 6x)(x2 + 3) dx , |
|
x2 + 3 |
поэтому
∫ |
(4x2 − 6x)(x2 + 3) dx = ( Ax3 + Bx2 + Cx + D) x2 + 3 + λ∫ |
dx . |
||||||
|
x2 + 3 |
|
|
|
|
|
|
x2 + 3 |
Дифференцируя, получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x4 −6x3 +12x2 −18x |
= (3Ax |
2 |
+ 2Bx +C) x |
2 |
+3 |
+ |
|
|
x2 +3 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
39 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
( Ax3 + Bx2 +Cx + D)x |
+ |
|
|
λ |
|
|
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 +3 |
|
|
|
|
|
x2 |
+3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4x4 −6x3 +12x2 −18x =(3Ax2 + 2Bx +C)(x2 +3) + Ax4 + Bx3 +Cx2 + Dx +λ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
4x4 −6x3 +12x2 −18x = 4Ax4 +3Bx3 +(2C +9A)x2 +(6B + D)x +3C + λ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
A =1; B = −2; C = 3 / 2; D = −6; λ = −9 / 2; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
∫(4x |
2 |
− |
6x) x |
2 |
|
|
|
|
|
3 |
−2x |
2 |
+ |
3 |
x − |
|
|
2 |
+3 − |
9 |
ln x + x |
2 |
+3 |
+C. |
||||||||||
|
|
|
|
|
+3dx = x |
|
|
|
2 |
6 x |
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Задания для самостоятельной работы |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Задание 1. Найти: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1) ∫ |
|
|
dx |
|
|
; 2); ∫ |
|
|
dx |
|
|
; 3) |
|
∫ |
|
|
dx |
|
|
; 4) |
∫ |
dx |
|
. |
|
|||||||||
|
x2 + x + 3 |
8 |
−2x − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 −5x +6 |
|
|
4 −3x − x2 |
|
|||||||||||||||||||
Задание 2. Найти: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1) ∫ |
|
x +3 |
|
|
|
dx ; 2) |
∫ |
|
|
x +4 |
|
|
|
dx ; 3) ∫ |
|
5x +2 |
|
dx ; |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
x2 +2x +5 |
|
|
|
2x2 −6x −8 |
|
|
|
|
x2 +3x −4 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
4) ∫ |
|
x −9 |
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
4 +2x − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Задание 3. Найти: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1) ∫ |
|
dx |
|
|
|
; |
|
2) ∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
−1) x2 |
|
|
|
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−1) x2 − x −1 |
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(x |
− x +1 |
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(x |
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Задание 4. Найти: |
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1) ∫ x2 + 4x +13 dx ; 2) ∫ 8 +2x − x2 dx . |
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Задание 5. Найти |
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1) ∫ |
x10 − x +1 |
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∫ |
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dx |
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; 3) ∫ |
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2x2 |
− |
3x |
dx . |
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1 + x2 |
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dx ; 2) |
x3 |
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x2 − 2x +5 |
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x2 +1 |
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40