неопр.ин-л лекции и практики

Ответы:

Задание 1:

1)

x2

+ln

x

+ln

x −2

−ln

x + 2

+

ln

x −1

+

3 ln

x +1

+C .

2

6

2

2

x

x +1

+C .

2) 2 ln

−ln

+

x

+1

3)

−ln

x −1

+

3 ln(x2 −2x +5)+

1

arctg

x −1

+C .

2

2

2

ln(x2 + 2)

x

x

4)

+

0,5

−

1

arctg

−

1

+C .

2

x2 +

2

4 2

2

4

x2 + 2

5)

x3

+

x2

+ 4x + ln

Cx2 (x − 2)5

. 6) ln

x2

+

10

+ C .

3

2

(x + 2)3

x + 2

x +

2

7)

x2

−

2x +

1

ln

x −1

+

27

ln

x + 3

+ C .

2

4

4

8)

1

ln

(x − 2)2

+

1

3 − 4x

− 4arctg x

+ C .

2

x2 +1

2

x2

+

1

9) 6 ln | x + 4 | +

2

−

7

+C .

x +

4

2(x + 4)2

Задание 2:

(x4 +ln

)+C .

1)

arctg x +

arctg x3

+C . 2)

1

x4

+1

−4 ln

x4 + 2

3

4

3)

1

3

x4

x4 +1

5

x4

−

ln

+4 ln

−

ln

+2

+C .

4

2

1

2

1

2 x +

+1−

5

4)

ln

x

+C .

5

1

2 x +

+1−

5

x

5.1. Интегралы вида ∫sin αxcosβxdx, ∫sin αxsinβxdx, ∫cos αxcosβxdx

Интегралы вида ∫sin αxcosβxdx, ∫sin αxsin βxdx, ∫cosαxcosβxdx вычис-

ляются с применением следующих формул:

sin αxcosβx =

1

(sin(α +β)x +sin(α −β)x),

2

sin αxsin βx =

1

(cos(α −β)x −cos(α +β)x),

2

cos αxcosβx =

1 (cos(α +β)x +cos(α −β)x).

Пример 1 .

2

∫sin 5xcos3xdx = 1

∫sin 8xdx +

1

∫sin 2xdx = −

1

cos8x − 1 cos 2x + C.

2

2

16

4

5.2. Интегралы вида ∫sinn x cosm xdx

Интегралы вида ∫sin n x cosm xdx , где n и m – целые числа, интегриру-

ются с помощью замен:

№

Условия на m, n

Замена

п/п

m, n – четные

sin α cos

α = 1 sin 2α

1

2

положительные числа

sin2 α =

1−cos 2α

, cos2 α =

1+cos 2α

2

2

2

m, n – четные отрица-

в числителе положить

тельные числа

1 = (sin2 x +cos2 x)k , где k = 1,2,3…

3

m, n – четные числа,

одно из них

t = tg x, или t = ctg t

отрицательное

от нечетной степени отделяем множитель

4

среди чисел m, n –

sin x (или cos x) , вносим его под дифференциал,

имеется нечетное

и далее подстановка

t = sin x (или t = cos x)

Пример 2. ∫sin 4 3x cos4 3xdx = [тип 1]=

1

∫(2 sin 3x cos 3x)4 dx =

24

Пример 3. Интеграл типа (2):

∫

dx

= ∫ (sin2 x + cos2 x)2

dx = ∫

dx

+ 2∫

dx

+ ∫ctg2 x

dx

=

sin 4 xcos2 x

sin 2

sin 2 x

sin 4 x cos2 x

cos2 x

x

= tg x − 2ctg x −

ctg3 x

+ C.

3

Пример 4. Интеграл типа (3):

∫

sin2 x

dx =

∫

sin2 x

1

dx

= ∫tg2 x(1+tg2 x)2 d tg x = ∫(t 2 +2t 4 +t6 )dt =

cos2 x cos4 x cos2 x

cos8 x

=

t3

+

2t5

+

t7

+ C =

1

tg3 x +

2

tg5 x +

1

tg7 x + C.

5

5

7

3

7

3

Пример 5. Интеграл типа (4):

∫sin 4 xcos3 xdx = ∫sin 4 xcos2 xcos xdx = ∫sin 4 x(1 −sin 2 x)d sin x =

= ∫t4 (1 −t 2 )dt = t5 − t7

+C = sin5 x

− sin7 x

+C.

5