Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Бесов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

1.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 3332 33 > Следующая >>>

§ 17.3. Разложение функций в ряд Тейлора

311

Остаточный член формулы Тейлора в интегральной форме имеет вид

rn(x) = n! Z0

(x − t)nf(n+1)(t) dt =

α(α − 1) . . .(α − n)

Z0x(x − t)n(1 + t)α−n−1dt.

Отсюда

−

n(1 + t)α−n−1 |x − t| dt

| n+1

| − − |

rn(x)

n + 1

x t

(1 + t)

− −

(x)

| −

+ t

Заметим,

что

1 −

|xt|

| −

| | − |

= x

| |

x .

1 + t

1 − |t|

| | 1

− |t|

6 | |

Следовательно, при фиксированном x и достаточно малом

ε > 0

\|rn+1(x)\|	6	\|n + 1 − α\|	x	\| 6	(1 + ε) x	= q < 1
\|rn(x)\|		n + 1
			\|		\| \|

при n > nε.

Это означает, что |rn(x)| → 0 (n → ∞) не медленнее, чем член убывающей геометрической прогрессии. Таким образом, (13) установлено.

Отметим важные частные случаи (α = −1) формулы

(13):

∞

−

1 + x =

(|x| < 1).

x = xk,

(−1)kxk

k=0

Пример 6.

ex + r−x

∞

x2k

ch x =

k=0

(2k)!

(14)

sh x = ex − r−x =

x2k+1

, x (

∞

, + ).

−∞ ∞

k=0

(2k + 1)!

312 Глава 17. Степенные ряды

Эти два разложения получены не вычислением коэффициентов ряда Тейлора, а сложением двух сходящихся степенных рядов. Ряды в правых частях равенств являются рядами Тейлора соответственно для ch x и sh x в силу теоремы 17.2.1 (единственности).

Подобные приемы получения разложения функций в степенные ряды, основанные на использовании известных разложений (9)–17.3.14, широко распространены. Среди этих приемов отметим, в частности, почленное интегрирование и дифференцирование ряда. Так, например, из формулы суммы геометрической прогрессии

1	= 1 − x + x2 − x3 + . . . , q\|x\| < 1,
1 + x

с помощью почленного интегрирования получаем при |x| < < 1 формулу (12):

ln(1 + x) = Z0

= x −

− . . .

1 + t

Разложение в степенной ряд функции arcsin x можно

получить

почленным

интегрированием разложения

−

x2)− 21 , даваемого формулой

(arcsin x)0

√

−

(13) с заменой x на −x2.

§ 17.4. Функции ez, sin z, cos z комплексного переменного

Определение 1. Для z C положим

∞

= 1 +

+ . . .

(1)

k=0

sin z

∞

(−1)k

z2k+1 = z

+ z5 . . .

(2)

(2k + 1)!

−

k=0

(−1)k z2k = 1

+ z4 . . .

cos z

∞

(3)

(2k)!

−

k=0

§ 17.4. Функции ez, sin z, cos z комплексного переменного 313

Равенствами (1), (2), (3) функции ez, sin z, cos z определены на всей комплексной плоскости C, поскольку ряды сходятся, причем абсолютно для z C. В этом проще всего можно убедиться с помощью признака Даламбера. Следовательно, радиус сходимости R = +∞ для каждого из рядов (1), (2), (3) (это вытекает также из сходимости

на (−∞, +∞) рядов (1), (2), (3) при z = x + i0, см.	фор-
мулы (17.3.9), (17.3.10), (17.3.11)).
Функции ez, sin z, cos z при z = x совпадают соответ-
ственно с ex, sin x, cos x: R → R.
Установим некоторые свойства введенных функций.
Покажем, что
ez1 ez2 = ez1+z2 z1, z2 C.	(4)

Поскольку абсолютно сходящиеся ряды можно перемножать почленно (теорема 15.3.3), а сумма полученного в результате перемножения абсолютно сходящегося ряда не зависит от перестановки его членов (теорема 15.3.2), получаем, что

z1 z2

∞ n

z1n−k

z2k

X X

e e

−

k)!

k! =

n=0 k=0

(z1 + z2)n = ez1+z2 .

∞

1 n

zn−kzk =

∞

−

k)!k!

n=0

k=0

Из сравнения сумм рядов очевидно, что

откуда

eiz

= cos z + i sin z,

z C,

(5)

cos z =

eiz + e−iz

sin z =

eiz − e−iz

, z

. (6)

Формулы (5), (6) называются формулами Эйлера.

Из (4),

(5)

при z =

0 + iy

видно,

что функции sin z,

cos z не являются ограниченными функциями в комплексной плоскости.

314	Глава 17. Степенные ряды
Из (6) и (4) легко получаются следующие обобщения
известных тригонометрических формул:
sin(z1 + z2) = sin z1 cos z2 + cos z1 sin z2,							z1, z2 C,
cos(z1 + z2) = cos z1 cos z2 − sin z1 sin z2,							z1, z2 C.
Из (4), (5) следует, что при z = x + iy
	ez = exeiy = ex(cos y + i sin y).							(7)
				В частности, при x = 0
				В частности, при x = 0
						eiy = cos y + i sin y.		(8)
iy	z				Отсюда, в частности, вид-
	z			но, что функция ez — перио-
				но, что функция ez — перио-
				дическая с периодом 2πi.
	ϕ				Всякое комплексное число
0				z = x + iy можно представить
	x			z = x + iy можно представить
	x			в виде
	Рис. 17.1			в виде
					z = r(cos ϕ + i sin ϕ),			(9)
где
— модуль z, а под ϕ		pz = 0							-
	r = x2			+ y2 = \|z\|
		при	6		можно понимать отсчиты
		при			можно понимать отсчиты

ваемый против часовой стрелки угол между положительным направлением оси Ox и радиусом-вектором точки z комплексной плоскости. При этом для ϕ [0, 2π) вводится обозначение ϕ B arg z. В силу 2π-периодичности функций cos ϕ, sin ϕ в равенстве (9) в качестве ϕ можно взять ϕ = = Arg z, где

Arg z = arg z + 2kπ

при произвольном фиксированном k = 0, ±1, ±2, . . .

Формула (9) верна и при z = 0 при произвольном значении ϕ.

Формулу (9) называют тригонометрической формой

комплексного числа z.	C помощью (8) из нее можно по-
лучить показательную форму комплексного числа z:
z = reiϕ,	r = \|z\|, ϕ = Arg z.	(10)

§ 17.4. Функции ez, sin z, cos z комплексного переменного 315

Показательная и тригонометрическая формы комплексного числа удобны для нахождения произведения и частного двух комплексных чисел, возведения в степень ком-

плексного числа и извлечения корня.

Пусть zj = rjeiϕj

= rj(cos ϕj + i sin ϕj), j = 1, 2.

Тогда

из (4), (8) следует, что

ei(ϕ1−ϕ2) =

(cos(ϕ

1 −

)+i sin(ϕ

1 −

)),

= 0.

При z = reiϕ = r(cos ϕ + i sin ϕ), n N

zn = rneinϕ = rn(cos nϕ + i sin nϕ).

(11)

Получим, наконец, формулу для извлечения корня степени

n > 2 из комплексного числа z. Под

√z понимают такое

комплексное число w, что wn = z. Если

z = reiϕ = r(cos ϕ + i sin ϕ),

w = ρeiψ = ρ(cos ψ + i sin ψ),

то, согласно (11), r = ρn, ϕ = nψ. Поэтому

√z = √rei n

√r cos n

+ i sin n .

Однако, если ϕ = Arg z = arg z + 2kπ = ϕ0 + 2kπ, то

cos n = cos

sin n

= sin

n0 +

2kπ

имеют при различных k = 0, 1,

. . . , n −1 различные значе-

n .

Поэтому для

z 6= 0

существует

различных значений

ния

√

. В комплексной плоскости C все эти значения распола-

гаются на окружности с центром в точке

радиуса

деля эту окружность на равные дуги.

p|z|,

(sin x)0 = cos x; (cos x)0 = − sin x;

316	Приложение

Приложение

Таблица производных

(xn)0 = nxn−1, n = 0, ±1, ±2, . . .;

(ax)0	= ln a · ax, a > 0;
(xa)0 = axa−1, x > 0;

(loga x)0			=				loga e			, x > 0, a > 0;
(loga x)0			=							, x > 0, a > 0;
									x
(ln x)0 =			1			,			x > 0;
(ln x)0 =						,			x > 0;
				x
(ln x		)0 =			1			,	x = 0;
(ln x		)0 =			x			,	x = 0;
\|	\|				x				6
(\|x\|)0										x > 0,
(\|x\|)0	= sign x = (1,1, x < 0;
										−

(tg x)0

= sec2 x;

(ctg x)0 = cosec2 x;

(arcsin x)0

;

√1 − x2

(arccos x)0

= −

√

;

(arctg x)0 =

1 − x

;

1 + x2

(sh x)0

= ch x;

(ch x)0

= sh x;

(th x)0

;

ch2 x

(cth x)0	1
	= −		.
		sh2 x

Таблица интегралов

317

Таблица интегралов


Z	0 dx = C;
Z xα dx = α + 1 xα+1					+ C, α 6= −1;
				1
Z	dx
			= ln \|x\| + C;
		x	= ln \|x\| + C;

ax dx = ln1a ax + C;

Z		1 + x2		= arctg x + C;
			dx
Z	√		dx	= arcsin x + C;
			1 x2
Z			−		± 1 + C;
	√x2 ± 1 = ln x + px2
			dx
Z
		sin x dx = − cos x + C;
Z		cos x dx = sin x + C;

Z dx

cos2 x

= tg x + C;

Z dx

sin2 x

= − ctg x + C.

318	Приложение

Формулы Тейлора для основных элементарных функций

При x → 0:

ex =

+ o(xn);

k=0

x2k

cos x =

(−1)k (2k)! + o(x2n+1);

x2k+1

sin x =

(−1)k

+ o(x2n+2);

k=0

(2k + 1)!

x2k

ch x =

+ o(x2n+1);

k=0

(2k)!

x2k+1

sh x =

+ o(x2n+2);

k=0

(2k + 1)!

x2k+1

arctg x =

(−1)k

+ o(x2n+2);

k=0

2k + 1

ln(1 + x) =

(−1)k+1 xk + o(xn);

k=1

(1 + x)α = 1 +			n	α(α − 1) . . .(α − k + 1) xk + o(xn);
			X
			k=1	k!
			k=1
1		n
1		= Xxk + o(xn).

	1 − x

k=0

Предметный указатель

Абеля преобразование . . 276, 290 признак

сходимости ряда 277, 282 несобственного инте-

грала . . . . . . . . 253–254

равномерной сходимости ряда . . . . . . . . . 290–291

теорема о сходимости степенного ряда . . 299–300 Абсолютно интегрируемая

функция . . . . . . . . . . . .

см. Функция, абсолютно интегрируемая

Арккосинус . . . . . 40, 67, 316 Арксинус . 40, 67, 68, 71, 312,

316 Арктангенс 40, 67, 68, 71, 316

Асимптота . . . . . . . . . . . 105

вертикальная . . . . . . . 106

наклонная . . . . . . . . . . 106

Асимптотически равные функции . . . . . . . . . . см.

Эквивалентные функции Асимптотическое равенство .

Бернулли неравенство 27, 64 Бином Ньютона см. Ньютона

бином Биномиальный дифференциал

см. Дифференциал, биномиальный

Больцано–Вейерштрасса тео-

рема . . . . . . . . . . . . . 31,

147

Вейерштрасса признак равномерной сходи-

мости ряда . . . . . . . 289

теорема . . . . . . . . . 55, 160 Вектор . . . . . . . . . . . . . . 144

Вектор-функция . . . . . . . 108 дифференцируемая . . . 111

Верхняя (нижняя) грань множества . . . . . . . 12–13

последовательности . . . 26 числовой функции . . . . . 40 Вложенных отрезков система

стягивающаяся . . . . . . . 16 Вписаная ломаная . . . . . 118 Выпуклая функция . . . . . см.

Функция, выпуклая

Геометрическая прогрессия .

268

Главная нормаль . . . . . . см. Нормаль, главная

Гладкая кривая см. Кривая, гладкая

Градиент функции . . . . . 176 Граница множества . . . . 151 Граничная точка множества .

см. Точка, множества, граничная

График функции . . . 40, 154

Даламбера признак сходимости ряда .

268

Дарбу сумма . . . . . 224–225 Действительная часть ком-

плексного числа . . . . . .

320	Приложение

см. Число, комплексное, действительная часть

Действительные числа . . см. Число, действительное Декартово произведение мно-

жеств . . . . . . . . . . . . 187

Десятичная дробь см. Дробь десятичная

Десятичное приближение . 34 Диаметр множества . . . . 152 Дирихле

признак 253, 276, 282, 289

функция . . . . . . . . . . . 221

Дифференциал биномиальный . . . . . . 141 вектор-функции . 111, 112 независимой переменной 74

функции . . 73, 80, 166, 171 первый 80, 112, 173, 180

инвариантность формы

80, 112, 173 второй . . . . . . . . 84, 181

n-ый . . . . . . . . . . . . . 84 порядка m . . . . . 181–182

Дифференцирование . . . . . 72 Дифференцируемость функ-

ции . . . . . . . . . . . . . 166

Длина кривой . . 118, 242–243 Допустимая замена параметра кривой . . . . . . . 116–118

Дробь десятичная . . . . . . . . . . 34

бесконечная . . . . . . . . 35 правильная . . . . . . . . . 134 рациональная . 41, 134–135 простейшая . . . . . . . 137

Дуга кривой . . . 114, 116, 242

Евклидово пространство 144

Жорданова мера . . . . . . 239

Замена переменной в инте-

грале . . . . . . . 129, 237,

247

Замкнутая кривая . . . . . см. Кривая, замкнутая

Замкнутая область . . . . . см. Область, замкнутая Замыкание множества . . . . .

150–151

Знакопеременный ряд . . см. Ряд, знакопеременный Знакочередующийся ряд см. Ряд, знакопеременный

Инвариантность формы первого дифференциала . . .

см. Дифференциал, функции, первый, инвариантность формы

Интеграл Римана . . . . . см. Римана,

интеграл абсолютно сходящийся 250

неопределенный . 126–128, 236

несобственный . . . . . . 245 абсолютно сходящийся . .

250

с особенностью 250–252 определенный 220, 236–237,

238

спеременным верхним пре-

делом . . . . . . . . . . . 234

спеременным нижним пре-

делом . . . . . . . . . . . 235

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 3332 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.05.2019246.78 Кб5Анализ понятия Информация - метафоры и трактовк...doc
#
03.06.20156.24 Mб229Анатолий Маркович Маркуша ВАМ ВЗЛЕТ.pdf
#
03.06.2015119.78 Кб22Базы_данных.pdf
#
03.06.2015559.1 Кб5Без имени 1.doc
#
27.03.20161.14 Mб2991Беклемишев-Решения_задач.pdf
#
03.06.20151.35 Mб90Бесов.pdf
#
03.06.2015163.84 Кб21Билет 1.doc
#
14.09.2019210.43 Кб2Билет3(Внешняя память).doc
#
19.09.201988.58 Кб2Билет_10.doc
#
26.09.2019890.02 Кб21БИЛЕТЫ К ГОСУ(МАТЕМАТИКА).docx
#
03.06.20155.78 Mб14Бомбы 2006 by @rav.pdf