Бесов

Определение. Вектор-функция ~r = ~r(t), определенная в U(t0), называется дифференцируемой в точке t0, если при

Как и в случае числовых функций показывается, что существование производной~r0(t0) и дифференцируемость~r

в точке 0 эквивалентные свойства и что ~ 0 0 t — A =~r (t ).

Дифференцируемость~r в точке t0 (существование~r0(t0)) влечет, очевидно, непрерывность ~r в точке t0.

Дифференциалом функции~r =~r(t) в точке t0 называется линейная функция

d~r(t0) =~r0(t0) dt, −∞ < dt < +∞.

Теорема 3. Пусть в точке t0 существуют производные функций~r1 =~r1(t), ~r2 =~r2(t) и числовой функции f = f(t). Тогда в точке t0

1.◦ (~r1 +~r2)0 =~r01 +~r02; 2.◦ (f~r1)0 = f0~r1 + f~r01;

3.◦ (~r1,~r2)0 = (~r01,~r2) + (~r1,~r02); 4.◦ [~r1,~r2]0 = [~r01,~r2] + [~r1,~r02].

Д о к а з а т е л ь с т в о приведем лишь для свойства 4◦.

~r1(t0 + t) ×~r2(t0 + t) −~r1(t0) ×~r2(t0) =

= (~r1(t0 + t) −~r1(t0)) × r2(t0 + t)+

+~r1(t0) × (~r2(t0 + t) −~r2(t0)).

Поделив на t и переходя к пределу при t → 0, получаем 4◦.

Выведем правило дифференцирования сложной вектор-

функции ~r(t(τ)), τ U(τ0).

112 Глава 8. Кривые в трехмерном пространстве

Из этой формулы получаем выражение для дифференциала сложной вектор-функции:

d~r =~r0t0 dτ =~r0 dt.

Как видим, дифференциал d~r записывается в том же виде d~r =~r0 dt, как и в случае, когда t — независимая переменная. В этом состоит свойство инвариантности формы дифференциала первого порядка.

Производные высших порядков и дифференциалы высших порядков вектор-функций определяются аналогично

тому, как это сделано для числовых функций. Именно:

~r00(t) = (~r0(t))0 и вообще ~r(n)(t) = (~r(n−1)(t))0,

d2~r(t) = δ(d~r(t)) δt=dt = δ(~r0(t) dt) δt=dt =~r00(t)(dt)2,

− →~ →

где ~ε(t t0) 0 при t t0.

114 Глава 8. Кривые в трехмерном пространстве

§ 8.2. Кривая

Будем считать, что в трехмерном пространстве R3 фиксирована прямоугольная система координат.

Определение. Множество точек R3 с конкретным его описанием:

= {(x(t), y(t), z(t)), a 6 t 6 b},

где x, y, z — непрерывные функции на [a, b], называется

(непрерывной) кривой.

Говорят еще, что кривой называется «непрерывное отображение отрезка в пространство R3». На разъяснении этого понятия останавливаться здесь не будем.

Подчеркнем, что кривая определяется не только положением множества точек в R3, но и способом его описания.

Ту же кривую можно задать в виде

= {~r(t), a 6 t 6 b}, = {rˆ(t), a 6 t 6 b},

где ~r(t) B (x(t), y(t), z(t)) — радиус-вектор точки rˆ(t) B B (x(t), y(t), z(t)). Точкой кривой называют пару

{t, rˆ(t)}.

Точка M R3 называется кратной точкой (точкой самопересечения) кривой , если t1, t2 [a, b], t1 6= t2: rˆ(t1) = rˆ(t2) = M.

Кривая без кратных точек называется простой кривой

(или простой дугой).

Кривая называется замкнутой кривой или контуром,

если rˆ(a) = rˆ(b). Контур называется простым контуром, если из a 6 t1 < t2 6 b, rˆ(t1) = rˆ(t2) следует t1 = a, t2 = b.

Возрастание параметра t определяет некоторое направление движения точки rˆ(t) по кривой (некоторый порядок прохождения точек кривой).

Поэтому говорят, что на кривой задана ориентация,

рассматриваемую кривую называют ориентированной кри-

вой, точку rˆ(a) — началом кривой, а точку rˆ(b) — концом кривой.

t

Следовательно, касательная в точке (t0, rˆ(t0)) существует, а уравнение ее можно записать в виде

правлены в сторону возрастания параметра кривой.

116 Глава 8. Кривые в трехмерном пространстве

Если t0 = a или t0 = b и в t0 существует отличная от

~ односторонняя производная вектора то существует и

0 ~r,

односторонняя касательная (которая определяется по аналогии с касательной).

Определение. Кривая = {~r(t), a 6 t 6 b} называ-

ется дифференцируемой (непрерывно дифференцируемой), если ~r(t) — дифференцируема (непрерывно дифференциру-

ема) на [a, b].

Определение. Точка (t0, rˆ(t0)) дифференцируемой кривой называется неособой точкой, если ~r0(t0) 6= 0, и называется особой точкой в противном случае.

В последней лемме показано, что дифференцируемая кривая в каждой неособой точке имеет касательную.

Определение. Непрерывно дифференцируемая кривая без особых точек называется гладкой кривой.

Определение. Пусть = {rˆ(t), a 6 t 6 b}, c (a, b).

Тогда каждая из кривых

0 = {rˆ(t), a 6 t 6 c}, 00 = {rˆ(t), c 6 t 6 b}

называется дугой кривой .

При этом кривая называется кусочно непрерывно диф-

ференцируемой (кусочно гладкой), если каждая из ее дуг является непрерывно дифференцируемой (гладкой).

Аналогичное определение можно дать и в случае, когда кривая разбита на любое конечное число дуг.

Рассмотрим вопрос о преобразовании (замене) параметра на кривой.

Пусть = {~r(t), a 6 t 6 b}, t = g(τ), ~ρ(τ) =~r(g(τ)),

˜ { }

= ~ρ(τ), α 6 τ 6 β .

Будем считать кривую ˜ той же что и но иначе па

, , -

раметризованной, если замена параметра t = g(τ) является

допустимой.

При этом под допустимой заменой параметра понимается такая, при которой

1◦. g(τ): [α, β] ↔ [a, b], g непрерывна и строго монотонна на [α, β].

Обратим внимание что при этом от ˜ можно перейти

,

к также с помощью непрерывной и строго монотонной замены параметра g−1 (обратной к g).

Понятие «допустимой» замены параметра определяется нашим желанием сохранить те или иные свойства кривой при такой замене. Так, например, если мы хотим сохранить ориентацию кривой, то к требованию 1◦ присоединяется требование

1◦◦. g строго возрастает на [α, β].

Последнее равносильно, очевидно, условию g(α) = a, g(β) = b.

Если — дифференцируемая (непрерывно дифференцируемая) кривая, то допустимой заменой параметра набудем называть замену t = g(τ), удовлетворяющую, помимо условия 1◦, еще и условиям

2◦. g дифференцируема (непрерывно дифференцируемая) на [α, β];

3◦. g0(τ) 6= 0 при α 6 τ 6 β.

При этом, очевидно, дифференцируемая (непрерывно дифференцируемая) кривая переходит в дифференциру-

емую непрерывно дифференцируемую кривую ˜

( ) .

При выполнении условий 1◦, 2◦, 3◦ обратная к g функция g−1 будет, очевидно, удовлетворять тем же условиям.

Кривые и ˜ при этом отождествляют иначе говоря их

( ,

называют одной и той же кривой, различным образом параметризованной).

Упражнение 1. Показать, что при замене параметра, удовлетворяющей условиям 1◦, 2◦, 3◦ (т. е. при допустимой замене параметра),

a) неособая точка переходит в неособую;

118Глава 8. Кривые в трехмерном пространстве

b)касательная в неособой точке сохраняется;

c)гладкая кривая переходит в гладкую кривую.

§ 8.3. Длина дуги кривой

Пусть = {~r(t), a 6 t 6 b}. Систему точек τ = {ti}iiτ=0

называют разбиением отрезка [a, b], если a = t0 < t1 < < t2 < . . . < tiτ = b.

Соединив точки rˆ(ti−1) и rˆ(ti) отрезками прямых (i = 1, 2, . . . , iτ ), получим так называемую вписанную ломаную (обозначим ее символом Λτ ), длина которой

Определение. Длиной кривой называется

S B sup SΛτ .

τ

Определение. Кривая называется спрямляемой, если ее длина конечна (т. е. S < +∞).

Ясно, что длина кривой и ее спрямляемость не меняются при допустимой замене параметра на кривой.

Упражнение 1. Пусть = {~r(t), a 6 t 6 b}. —

спрямляемая кривая, c (a, b). Показать, что обе кривые

спрямляемы и сумма их длин равна длине кривой .

Теорема 1. Пусть = {~r(t), a 6 t 6 b} непрерывно дифференцируема. Тогда она спрямляема и длина ее удовлетворяет условию

|~r(b) −~r(a)| 6 S 6 max |~r0(t)|(b − a).

a6t6b

Д о к а з а т е л ь с т в о. Функция |~r0(t)| как непрерывная на отрезке [a, b] достигает на нем своего максимума.

Пусть τ = {ti}iiτ=1 — некоторое разбиение отрезка [a, b]. Тогда с помощью (8.1.1) имеем

Переходя в этом неравенстве к верхней грани по τ, получаем утверждение теоремы.

Теорема 2. Пусть кривая = {~r(t), a 6 t 6 b} непрерывно дифференцируема. Тогда переменная длина дуги s = s(t), отсчитываемая от ее начала (a, rˆ(a)), является возрастающей непрерывно дифференцируемой функцией параметра t, причем

ds2 = |d~r|2 = dx2 + dy2 + dz2.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть s = s(t) — длина дуги кривой

120 Глава 8. Кривые в трехмерном пространстве

Отсюда следует, что s0(t0) = |~r0(t0)|. Из неотрицательности s0(t) следует, что s(t) возрастает на [a, b].

Следствие 1. Если параметром непрерывно дифференцируемой кривой = {~r(s), 0 6 s 6 S } является длина ее

Следствие 2. Для гладкой ориентированной кривой можно с помощью допустимой замены параметра перейти к параметру s, являющемуся переменной длиной дуги, отсчитываемой от начала кривой.

Запишем равенство d~r = 1 в виде

ds

cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1,

где α, β, γ — углы, образованные вектором d~dsr (a значит, и

касательной) соответственно с осями Ox, Oy, Oz. Отсюда

в чем и состоит геометрический смысл координат вектора d~dsr .

§ 8.4. Кривизна, главная нормаль, соприкасающаяся плоскость

Лемма 1. Пусть вектор-функция~r =~r(t) постоянна по модулю:

|~r(t)| = C при t U(t0).