Бесов

прерывной в точке x(0) E по множеству E, если

ε > 0 δ = δε > 0 : |f(x) − f(x(0))| < ε

(1)

x E ∩ Uδ(x(0)),

и называется непрерывной на E, если она непрерывна в каждой точке множества E по множеству E.

Комплекснозначную функцию f можно представить в виде f = g +ih, где g, h — действительнозначные функции. Очевидно, что непрерывность функции f в точке x(0) E

по множеству E (на E) равносильна непрерывности каждой из функций g, h в точке x(0) по множеству E (на E).

Теорема 1. Пусть последовательность комплекснозначных функций {fn}, fn: E → C, E Rd равномерно

сходится на E к функции f, т. е. fn f. Если все функ-

E

ции fn непрерывны в точке x(0) E по множеству E, то и предельная функция f непрерывна в точке x(0) по множеству E.

Тогда при x E

|f(x) − f(x(0))| 6 |f(x) − fn(ε)(x)| + |fn(ε)(x) − fn(ε)(x(0))|+

+|f(x(0)) − fn(ε)(x(0))| < 2ε + |fn(ε)(x) − fn(ε)(x(0))|.

В силу непрерывности функции fn(ε) в точке x(0) по множеству E

δ = δε > 0 : |fn(ε)(x) − fn(ε)(x(0))| < ε x E ∩ Uδ(x(0)).

Отсюда и из предыдущего неравенства следует, что

|f(x) − f(x(0))| < 3ε x E ∩ Uδ(x(0)).

Следовательно, функция f непрерывна в точке x(0) по множеству E.

296 Глава 16. Функциональные последовательности и ряды

Числовую сходящуюся последовательность {fn(c)} можно считать, очевидно, функциональной последовательностью, равномерно сходящейся на [a, b]. Тогда последовательность {fn} равномерно сходится на [a, b] (см. упражнение 16.1.1) к некоторой функции f.

Переходя в левой части последней формулы к пределу при n → ∞, получаем, что

Z x

f(x) − f(c) = ϕ(t) dt x [a, b].

a

Правая часть этого равенства (как интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции) является дифференцируемой функцией. Следовательно, таковой является и левая часть, а значит, и функция f. Дифференцируя равенство почленно, получаем, что f0(x) = ϕ(x)

x [a, b].

Теорема доказана.

Теорема 30. (о почленном дифференцировании

P

ряда). Пусть ряд uk непрерывно дифференцируемых на [a, b] функций сходится в точке c [a, b], а ряд Pu0k равномерно сходится на [a, b].

P

Тогда ряд uk равномерно сходится на [a, b], сумма его непрерывно дифференцируема на [a, b] и

Глава 17 СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

Вэтой главе будем рассматривать функции f(z) =

=f(x + iy) комплексного переменного z = x + iy. На этот случай переносятся понятия непрерывности функции в точке и на множестве, сходимости в точке и равномерной сходимости на множестве функциональной последовательности и функционального ряда.

Следует лишь в определениях 16.3.1, 16.1.1, 16.1.2 заменить E Rd на E C, x, x(0) E — на z, z0 E. При этом сохраняются, очевидно, все теоремы § 15.1 и § 15.2 и

теоремы 16.3.1, 16.3.10.

§ 17.1. Свойства степенных рядов

Определение 1. Функциональный ряд

n=0

где an и z0 — комплексные числа, а z — комплексное переменное, называется степенным рядом.

Определение 2. Радиусом сходимости степенного ряда (1) называется число или +∞:

lim n |an|

n→∞

кругом сходимости ряда (1) называется круг

Круг сходимости является открытым множеством. При R = +∞ он совпадает со всей комплексной плоскостью.

Формула (2) называется формулой Коши–Адамара.

Вопросы сходимости рядов (1) достаточно изучить в случае z0 = 0, т. е. для рядов вида

∞

X

anzn. (4)

n=0

Напомним признак Коши сходимости числового ряда с неотрицательными членами.

|z|

где R — радиус сходимости ряда (4). Сравнивая l = R с единицей, получаем следующую теорему.

Теорема 1. Пусть R — радиус сходимости ряда (4). Тогда

1.при |z| < R ряд (4) сходится и даже абсолютно;

2.при |z| > R ряд (4) расходится и даже его общий член anzn не стремится к нулю при n → ∞.

За м е ч а н и е 1. При |z| = R, т. е. на границе круга сходимости, ряд (4) может как сходиться, так и расходиться.

За м е ч а н и е 2. Теорема 1 дает возможность находить радиус сходимости степенного ряда, не прибегая к формуле (2).

Примеры:

в точке z = 1 и сходится во всех остальных точках окружности |z| = 1. Его сходимость вытекает из сходимости рядов (15.4.6), (15.4.7), а в точке z = −1 устанавливается с помощью признака Лейбница (15.4.1).

P

∞ zn

2. Ряд 2 , R = 1, сходится в каждой точке границы круга1сходимостиn .

∞

3.Ряд zn, R = 1, расходится в каждой точке границы круга1 сходимости.

Теорема 2 (о равномерной сходимости степен-

ного ряда). Пусть R — радиус сходимости степенного ряда (4), 0 < r < R. Тогда в замкнутом круге {z: |z| 6 r} ряд (4) сходится равномерно.

Д о к а з а т е л ь с т в о. При |z| 6 r |anzn| 6 |an|rn. Но

димости может сходиться равномерно (пример 2) или не сходиться равномерно (пример 1).

Теорема 3. Сумма степенного ряда непрерывна в круге сходимости.

Д о к а з а т е л ь с т в о следует из теоремы о непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда с непрерывными членами, примененной к ряду (4) на множестве {z: |z| 6 r}, где 0 < r < R, причем r может быть взято сколь угодно близким к R.

Теорема 4 (Абеля). Пусть z1, z2 C, |z1| < |z2|.

Тогда

1.◦ если ряд (4) сходится в точке z2 (или если общий член его в точке z2 стремится к нулю), то он сходится абсолютно в точке z1;

2.◦ если ряд (4) расходится в точке z1, то он расходится в точке z2 и общий член его в точке z2 не стремится к нулю;

3.◦ если ряд (4) сходится в точке z2 (или общий член его в точке z2 стремится к нулю), то он равномерно сходится на замкнутом круге {z: |z| 6 r} при любом r, 0 < r < |z2|.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть R — радиус сходимости ряда (4).

1.◦ В силу теоремы 1 |z2| 6 R. Тогда |z1| < R, и утверждение следует из теоремы 1.

2.◦ В силу теоремы 1 |z1| > R. Тогда |z2| > R, и утверждение следует из теоремы 1.

3.◦ В силу теоремы 1 0 < r < |z2| 6 R, и утверждение следует из теоремы 2.

§ 17.2. Аналитические функции

Определение 1. Говорят, что на данном множестве функция представима рядом, если на этом множестве она равна сумме этого ряда.

Определение 2.

1.◦ Аналитической в точке z0 C функцией называ-

ется функция f, которая при некотором ρ > 0 представима рядом

k=0

Множество всех таких функций обозначим через

A(z0).