Бесов

Следующие две теоремы показывают, что абсолютно сходящиеся ряды обладают некоторыми свойствами сумм конечного числа слагаемых.

ряд P ak, полученный перестановкой членов ряда P ak,

k=1 k=1

сходится абсолютно. При этом их суммы равны:

∞∞

Д о к а з а т е л ь с т в о. Абсолютная сходимость ряда

n∞

Для каждого n N найдется, очевидно, такое N = = N(n) > n, что все слагаемые суммы Sn содержатся в сумме SN . Тогда при m > N

|Sm − Sn| 6 |an+1| + |an+2| + . . . C ρn,

∞

где ρn — остаток после n-го члена ряда P ak.

k=1

Переходя в этом неравенстве к пределу при m → ∞,

получаем

|S − Sn| 6 ρn n N.

Но ρn → 0 при n → 0, как остаток сходящегося ряда. Следовательно, Sn → S при n → ∞, что равносильно (2).

составленный из всевозможных (без повторений) попарных произведений членов исходных рядов, сходится абсолютно и сумма его

∞∞ ! ∞ !

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим подпоследовательность частичных сумм четного порядка {Sn}∞1 частичных сумм ряда (1):

S2n = (a1 − a2) + (a3 − a4) + . . . + (a2n−1 − a2n) =

= a1 − (a2 − a3) − (a4 − a5) − . . . − (a2n−2 − a2n−1) − a2n.

Ясно, что S2n возрастает и что 0 6 S2n 6 a1. Следовательно, последовательность {S2n}∞1 сходится:

Подпоследовательность {S2n−1}∞1 последовательности {Sn}∞1 также сходится и притом к тому же пределу S, поскольку S2n−1 = S2n − a2n → S − 0 = S при n → ∞. Из сходимости {S2n}∞1 и {S2n−1}∞1 к одному и тому же числу S следует, как нетрудно заметить, сходимость Sn → S при n → ∞, т. е. сходимость ряда (1) к S.

Пусть теперь rn — остаток ряда (1) после n-го члена:

(−1)n+1rn = an+1 − an+2 + an+3 − an+4 + . . .

Этот ряд также удовлетворяет условиям доказываемой теоремы. Оценивая его сумму в соответствии с (3), получаем (2).

k=1

276 Глава 15. Числовые ряды

Пусть произвольное

Теорема 2 (признак Дирихле). Пусть числа ak мо-

нотонно стремятся к нулю, а последовательность частич-

Д о к а з а т е л ь с т в о. В обозначениях (4) при B0 =

= 0 применим преобразование Абеля (5) к частичной сумме

∞

P

ряда akbk. Изучим поведение правой части (5) при n →

→ ∞.k=1

anBn → 0 при n → ∞ в силу ограниченности последовательности {Bn} и условия an → 0 (n → ∞).

Сумма в правой части (5) стремится к конечному пределу, поскольку она является частичной суммой сходящегося (и притом абсолютно) ряда.

X

= ±M (ak+1 − ak) = Ma1.

k=1

Следовательно, и левая часть (5) стремится к конеч-

ному пределу при n → ∞, что и означает сходимость ряда

∞

P

akbk.

k=1

Теорема 3 (признак Абеля). Пусть последователь-

Первый из двух рядов справа сходится по признаку Дирихле, а второй — по условию. Следовательно, сходится и ряд, стоящий в левой части равенства.

З а м е ч а н и е 1. Признак Абеля можно сформулировать так: ряд, получаемый почленным умножением сходящегося ряда на члены монотонной ограниченной последовательности, сходится.

Пример 2. Доказать сходимость ряда

278 Глава 15. Числовые ряды

знака Дирихле при x 6= 2mπ, m Z. Если же x = 2mπ, то ряд (6) сходится, т. к. все члены его равны нулю.

k=1

сходится по признаку Абеля, в котором bk = sinkαkx.

Мы видели (теорема 15.3.2), что если ряд сходится абсолютно, то после любой перестановки его членов, он останется абсолютно сходящимся и сумма его не изменится. Если же ряд сходится, но не абсолютно, то после перестановки членов он может превратиться в расходящийся ряд или в сходящийся ряд, но имеющий другую сумму. Это утверждение (теорема Римана) будет установлено после некоторой подготовки.

Таким образом, a+k > 0, a−k 6 0, ak = a+k + a−k .

P

Лемма 1. Пусть ряд ak сходится, но не абсолютно. Тогда каждый из рядов Pa+k , Pa−k расходится.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим противное. Пусть, например, ряд Pa+k сходится. Тогда сходится и ряд Pa−k (так как a−k = ak − a+k ). Но тогда каждый из них сходится абсолютно, откуда следует абсолютная сходимость

P

ряда ak, что противоречит условию.

∞

P

Теорема 4 (Римана). Пусть ряд ak сходится, но

k=1

не абсолютно. Тогда для любого A R можно так переставить его члены, что полученный ряд будет сходиться к

A.

Ряд (8) строим по следующему правилу. На первом шаге переносим в него один за другим несколько первых чле-

P

нов ряда αi, следя за возрастанием частичных сумм Sn ряда (8) и заканчивая тем членом αm1 , при переносе которого в (8) частичная сумма Sm1 впервые станет большей,

которого частичная сумма Sm1+n1 впервые станет меньшей,

чем A (Sm1+n1 < A).

На третьем шаге переносим в ряд (8) несколько первых

P

из оставшихся в ряде αi членов, следя за возрастанием частичной суммы ряда (8) и заканчивая тем членом −αm2 , при переносе которого частичная сумма Sm1+n1+m2 впервые станет большей, чем A (Sm1+n1+m2 > A).

На четвертом шаге переносим в ряд (8) несколько

ная сумма Sm1+n1+m2+n2 впервые станет меньшей, чем A

(Sm1+n1+m2+n2 < A).