Бесов

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть функция f неограничена на отрезке [a, b]. Для произвольного разбиения τ отрезка представим сумму Римана интегрируемой функции f в виде

X

Sτ (f; ξ1, . . . , ξiτ ) = f(ξk)Δxk + f(ξi)Δxi, (1)

16i6iτ i6=k

где [xk−1, xk] — такой отрезок разбиения τ, на котором f неограничена. Выберем каким-либо образом все отмеченные точки ξi, кроме одной из них с номером k. Тогда правую часть (1) можно сделать сколь угодно большой по модулю за счет выбора ξk. Следовательно, при любом разбиении τ сумма Римана Sτ (f) может быть по модулю сколь угодно большой (например, |Sτ (f)| > |τ1|) при соответствующем выборе отмеченных точек. Это противоречит существова-

нию (конечного) предела lim Sτ (f). Следовательно, функ-

|τ|→0

ция f не интегрируема на [a, b].

Условие ограниченности функции, являясь необходимым для интегрируемости функции, не является достаточным, в чем можно убедиться на примере функции Дирихле:

(

Для этой функции и произвольного разбиения τ Sτ (f) = 1, если все отмеченные точки рациональны, Sτ (f) = 0, если все отмеченные точки иррациональны.

Следовательно, функция f не является интегрируемой на [0, 1].

§ 14.2. Критерий интегрируемости

Определение 1. Пусть функция f определена на отрезке [a, b]. Ее колебанием на этом отрезке называется чи-

222 Глава 14. Определенный интеграл

вкладывая в понятие предела тот смысл, который выражен в (ε, δ)-терминах в (1).

ξk(n), составим сумму Римана Sτn (f). Рассмотрим число-

n

вую последовательность {Sτn (f)}∞n=1. Она является фундаментальной (т. е. удовлетворяет условию Коши), так как

в силу (5) для ε > 0 nε: |Sτn (f) − Sτm (f)| < ε дляn, m > nε. Следовательно, по критерию Коши она схо-

дится. Пусть

Переходя в этом неравенстве к пределу при n → ∞, получаем, что

i=1

На основании (2) получаем отсюда, что

lim Sτ (f) = I.

|τ|→0

З а м е ч а н и е. Оценка (6) показывает, с какой точностью интеграл может быть приближен суммой Римана. Она может использоваться при приближенном вычислении интеграла.

Определение 2. Пусть функция f ограничена на отрезке [a, b] и τ = {xi}i0τ — разбиение [a, b]. Пусть

Тогда суммы

XX

называют соответственно нижней и верхней интегральными суммами Дарбу функции f, соответствующими разбиению τ.

Ясно, что для любой интегральной суммы Римана Sτ (f)

Sτ (f) 6 Sτ (f) 6 Sτ (f).

Нетрудно показать (предоставим это читателю), что

iτ

X

Sτ (f) − Sτ (f) = wi(f)Δxi.

i=1

C помощью последнего равенства можно перефразировать критерий интегрируемости функции в терминах суммы Дарбу:

для интегрируемости функции f на [a, b] необходимо и достаточно, чтобы

ε > 0 δ = δ(ε) : Sτ (f) − Sτ (f) < ε τ : |τ| < δ.

Упражнение 1. Выяснить геометрический смысл интегральных сумм Дарбу для неотрицательных функций.

Установим интегрируемость монотонных и непрерывных функций.

Теорема 2. Функция, монотонная на отрезке, интегрируема на этом отрезке.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Будем считать для определенности, что функция f возрастает на отрезке [a, b]. Тогда

XX

если f(b) > f(a), и при любом δ > 0, если f(b) = f(a).

Следовательно, f интегрируема в силу критерия интегрируемости (теоремы 1).

Теорема 3. Функция, непрерывная на отрезке, интегрируема на нем.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b]. Тогда в силу теоремы Кантора она равномерно непрерывна на нем, так что при a 6 c < d 6 b

ε > 0 δ = δ(ε) > 0 : w(f; [c, d]) 6 ε, если d − c < δ.

Следовательно, при произвольном ε > 0 для разбиения τ отрезка [a, b] с мелкостью |τ| < δ

XX

В силу критерия интегрируемости функция f интегрируема на [a, b].

Теорема 4. Пусть функция f ограничена на отрезке [a, b] и непрерывна на интервале (a, b).

Тогда она интегрируема на отрезке [a, b].

До к а з а т е л ь с т в о. Пусть |f(x)| 6 M при x [a, b].

ном разбиении τ отрезка [a, b]

iτ

XX

[xi−1,xi] [a+ε,b−ε]

Очевидно, что

Σ0 6 2M(ε + |τ|).

Поскольку функция f непрерывна и, следовательно, по теореме 3 интегрируема на [a + ε, b − ε], существует в силу критерия интегрируемости δ = δ(ε) > 0 такое, что

Будем считать, что δ 6 ε. Тогда при |τ| < δ 6 ε

iτ

X

wi(f)Δxi = Σ0 + Σ00 < 4Mε + ε = (4M + 1)ε.

i=1

Это означает, что выполнено условие (1) и в силу критерия интегрируемости функция f интегрируема на [a, b].

Определение 3. Функция f: [a, b] → R называется кусочно непрерывной на [a, b], если существует разбиение τ = {ai}i1τ такое, что при любом i = 1, . . . , iτ функция является непрерывной на отрезке [ai−1, ai] либо становится таковой после надлежащего переопределения ее в одном или обоих концах этого отрезка. Это равносильно тому, что при любом i = 1, . . . , iτ :

1.◦ функция f непрерывна на (ai−1, ai);

2.◦ существуют конечные пределы f(ai−1 + 0), f(ai −0). Так же, как и теорема 4, доказывается и

Теорема 5. Кусочно непрерывная на отрезке функция интегрируема на нем.

§ 14.3. Свойства интегрируемых функций

1◦ Пусть функция f интегрируема на [a, b] и [a , b ]

[a, b]. Тогда f интегрируема на [a , b ].

До к а з а т е л ь с т в о. Пусть τ = {xi } — произвольное разбиение [a , b ]. Дополним его до разбиения τ = {xi}

отрезка [a, b] с мелкостью |τ| = |τ |. Тогда

где w (f) = w(f; [x − , x ]).

i i 1 i

Для правой части неравенства выполнено (т. к. f интегрируема на [a, b]) условие (14.2.2). Следовательно, оно выполнено и для левой части. В силу критерия интегрируемости f интегрируема на [a , b ].

2◦ (Аддитивность интеграла относительно отрезков интегрирования). Пусть a < c < b, функция f интегрируема на [a, c] и интегрируема на [c, b]. Тогда f интегрируема на [a, b], причем

Д о к а з а т е л ь с т в о. Функция f как интегрируемая на [a, c] и [c, b] ограничена: |f(x)| 6 M при x [a, b].

Пусть τ = {xi}i0τ — произвольное разбиение отрезка [a, b], τc — разбиение [a, b], полученное дополнением разбиения τ точкой c (или совпадающее с τ, если c τ). Пусть еще τc0, τc00 — разбиения соответственно отрезков [a, c], [c, b], порожденные разбиением τc.

Сравним суммы Римана Sτ (f), Sτc0 (f), Sτc00 (f), считая отмеченные точки в первой из них произвольно выбранными, а во второй и третьей — выбранными по возможности совпадающими с отмеченными точками в Sτ (f).

Тогда

Sτ (f) − Sτc0 (f) − Sτc00 (f) = 0, если c τ.