Теперь умножим элементы второй строки матрицы A1 на (-3) и сложим с соответствующими элементами третьей строки. Получим:

~

Матрица A является расширенной матрицей системы

Система (9) эквивалентна исходной системе (7). Система (9) содержит два уравнения с 4-мя неизвестными, следовательно, две неизвестные могут быть выбраны произвольно. Придавая неизвестным x3 и x4 произвольные значения x3 = a, x4 = b , получаем решение системы (7) в виде

ìx1 = -10 + 8a - 7b,

где α, β - любые числа.

полагая в ней поочередно l = l i , i =1, 2, 3 .

1. Пусть l = l1 = -2 . Тогда система (11) примет вид:

ìï3x1 + x2 + 3x3 = 0 í x1 + 7x2 + x3 = 0 ïî3x1 + x2 + 3x3 = 0

или

Полученную систему решим методом Гаусса. Расширенная матрица

A системы (12) имеет вид:

Приведем матрицу A к трапециевидному виду с помощью элементарных преобразований. Для этого умножим элементы первой строки матрицы A на

(-3) и сложим с соответствующими элементами второй строки. Получим матрицу

которая является расширенной матрицей системы

Следовательно, x2 = 0, x1 = -x3 , то есть система имеет бесчисленное множество решений, определяемых равенством (x1, x2 , x3 )= (x1,0,-x1 ).

Таким образом, собственным вектором матрицы А, соответствующим собственному числу l = -2 , является ненулевой вектор, определяемый

Приведем матрицу A к трапециевидному виду с помощью элементарных преобразований. Для этого, сначала переставим первую строку матрицы A со второй строкой. Получим:

Теперь умножим элементы первой строки матрицы A1 на 2 и сложим с соответствующими элементами второй строки. Затем умножим элементы первой строки матрицы A1 на (-3) и сложим с соответствующими элементами третьей строки. В результате получим:

Далее, сложим элементы второй строки матрицы A2 с соответствующими элементами третьей строки. Получим матрицу:

которая является расширенной матрицей системы

Следовательно, x2 = -x3 , x1 = x3 , то есть система имеет бесконечное множество решений, определяемых равенством

Таким образом, собственным вектором матрицы А, соответствующим собственному числу l2 = 3 , является ненулевой вектор, определяемый совокупностью чисел (x1, x2 , x3 )= (t,-t,t )= (1,-1,1)×t , где t - любое число, отличное от нуля.

3) Пусть l = l3 = 6 . Тогда система (11) примет вид:

ì- 5x1 + x2 + 3x3 = 0

ï

í x1 - x2 + x3 = 0 (14) ïî 3x1 + x2 - 5x3 = 0

Решим систему (14) методом Гаусса. Расширенная матрица системы (14)

имеет вид :

Приведем матрицу A к трапециевидному виду с помощью элементарных преобразований. Сначала поменяем первую строку матрицы A со второй строкой. Получим :

Умножим теперь элементы первой строки матрицы A1 на 5 и сложим с соответствующими элементами второй строки. Затем умножим элементы первой строки матрицы A1 на (-3) и сложим с соответствующими элементами третьей строки. В результате получим :

которая является расширенной матрицей системы

ìíx1 - x2 + x3 = 0 . î- 4x2 + 8x3 = 0

Следовательно, x2 = 2x3 , x1 = x3 , то есть система имеет бесчисленное множество решений, определяемых равенством

Таким образом, собственным вектором матрицы А, соответствующим собственному числу l = 6 , является ненулевой вектор, определяемый совокупностью чисел (x1, x2 , x3 )= (t,2t,t )= (1,2,1)×t , где t - любое число, отличное от нуля.