1. Предел функции

OПусть функция y = f (x) определена на множестве D . Число А

При решении задач полезно знать следующие “замечательные” пределы:

41

Нарушение ограничений, накладываемых на функции при вычислении их

пределов, приводит к неопределенностям вида ¥ , 0 ,1¥ , ¥ - ¥ , и т.д.

¥ 0

Существуют различные приемы раскрытия данных неопределенностей:

деление числителя и знаменателя на старшую степень переменной (при x ® ¥ ); сокращение на множитель, создающий неопределенность;

применение “замечательных” пределов и т.п.

?Задание 1. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

1) lim 4x2 - 3x +1

x®¥ 2x2 + x - 5

Решение. При x ® ¥ получаем неопределенность вида ¥ . Чтобы найти

¥

предел данной дробно - рациональной функции, необходимо предварительно разделить числитель и знаменатель дроби на x2 , т.к. степень x2 - наивысшая степень многочленов, определяющих данную рациональную функцию.

Применяя основные теоремы о пределах и свойства бесконечно малых величин, получаем:

2) lim` 2x -1 -1

x®1 x -1

Решение. Непосредственная подстановка предельного значения аргумента

x = 1 приводит к неопределенности вида 0 . Чтобы раскрыть эту

0

неопределенность, умножим числитель и знаменатель дроби на сумму

2x -1 +1:

42

Решение. При x ® ¥ данная функция представляет собой степень,

основание которой стремится к 1, а показатель – к ¥ (неопределенность вида

1¥ ). Преобразуем функцию так, чтобы использовать второй “замечательный”

1)эта функция определена в некоторой окрестности точки x0

2)$lim f (x)

x®x0

3) lim f (x)= f (x0 ).

x®x0

43

Точка x0 называется точкой разрыва непрерывности функции, если в этой точке функция не является непрерывной, т.е. если в этой точке нарушается хотя бы одно из условий определения непрерывности функции.

Если существуют конечные односторонние пределы

причем не все три числа равны между собой, то x0

называется точкой разрыва первого рода. В частности, если:

1)f (x0 - 0) = f (x0 + 0), то x0 называется устранимой точкой разрыва;

2)f (x0 - 0) ¹ f (x0 + 0), то x0 называется точкой разрыва типа скачка,

причем разность f (x0 + 0)- f (x0 - 0) называется скачком функции f (x) в

точке x0 .

Точки разрыва функции, не являющиеся точками разрыва первого рода,

называются точками разрыва второго рода.

Справедливо следующее утверждение. (?)

Исследовать функцию на непрерывность. Сделать чертеж.

Решение Функция y = f (x) задана различными непрерывными аналитическими выражениями для различных областей изменения аргумента x . Следовательно, точками разрыва данной функции могут быть только те точки, в которых меняются аналитические выражения функции, т.е. точки

и x = 3 . Определим значения функции и ее односторонние пределы в

этих точках:

1) x = -3 :

44