3. Линии второго порядка

d1 = (x - x)2 + (y -1)2 = (y -1)2 = y -1 .

Теперь определим расстояние между точками М и A0 :

d2 = (x - x0 )2 + (y - y0 )2 = (x - 4)2 + (y - 3)2 .

По условию задачи d1 = d2 . Следовательно, для любой точки M (x, y)

справедливо равенство:

(x - 4)2 + (y - 3)2 = (y -1)2

или

(x - 4)2 + (y - 3)2 = y2 - 2 y +1.

Окончательно,

y= 1 (x - 4)2 + 2 .

4

Полученное уравнение является уравнением параболы с вершиной в точке

O¢(4, 2). Действительно, сделаем замену

x¢ = x - 4, y¢ = y - 2 .

Тогда уравнение примет вид:

y¢ = 1 (x¢ )2

4

(каноническое уравнение параболы ).

33

положительной полуосью абсцисс. Тогда прямоугольные координаты x, y

точки М и ее полярные координаты ρ, φ связаны следующими формулами:

координат. Требуется:

34

2.Найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью.

3. По уравнению в декартовой прямоугольной системе координ определить тип линии.

Решение.

1) Совместим декартову и полярную системы координат и рассмотрим окружность произвольного, достаточно большого радиуса r с центром в полюсе. Построим радиусы, образующие углы j с полярной осью, где j

принимает значения от j = 0 до j = 2p с шагом p . Вычислим косинусы этих

8

углов и по этим значениям найдем r = r(j). Результаты вычислений занесем в таблицу:

Построим точки ( r, j ) и по полученным точкам построим искомую линию:

35

2) Найдем уравнение данной линии в декартовой системе координат. Для этого воспользуемся формулами:

или после упрощения

3(x2 + y 2 + x)=1.

3) Чтобы определить тип линии, определяемой полученным уравнением,

преобразуем его к каноническому виду:

x2 + y2 = 1 - x

3

или

2

x2 + y2 = æç 1 - x) . è 3

Окончательно получим:

36