4.3. Скалярное произведение векторов

R R

=

R

R

=

R

R

(a,b )

b

npbRa

a

npaRb.

П р и м е р

4.4. Даны векторы

R

R

R

b

R

a =

3i -

3 j + k ,

= - j + 7k .

R

Найти пpbR a .

Р е ш е н и е .

R R

R

=

(a,b )

Поскольку прbRa

R

,

b

R

заданы координатами в ортонормированном базисе, то

а векторы a, b

R

= 3 × 0 + (-3)(-1) +1× 7 = 10.

(a,b )

Поэтому

R

=

10

=

10

=

50

.

прbRa

12 + 72

50

5

Механический

смысл

скалярного

произведения:

работа А,

R

производимая силой F , точка приложения которой перемещается из

R

точки M1 в точку M 2,

вычисляется по формуле A = (F , M1M 2 ).

4.4. Векторное произведение векторов

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов

R

R

a, b, c назы-

a c

б c

b

a

a

b

R R

R R

Рис. 4.1: а – тройка (a, b, c ) правая; б –

тройка (a, b, c ) левая

Векторным произведением вектора a

на вектор b называется

вектор c, удовлетворяющий условиям:

1)

R

=

R

R

sin ϕ, ϕ – угол между векторами a и b ;

c

a

b

2)

R

b,

R

R

c

c

a;

R

R

R

R

× b.

Обозначение: c

= [a, b ],

c

= a

R

R

1) [a, b ] = −[b, a];

R

R

R

λ R;

2) [λa, b ] = [a, λb ] = λ[a, b ],

R

R

R R

R

3) [a

+ b, c]

= [a, c ] + [b, c ];

R

R

условие коллинеарности векторов.

4) [a, b ] = 0

a || b –

R

b (x2 , y2

, z2 ) заданы своими коорди-

Если векторы a(x1, y1, z1),

R

R

натами в ортонормированном базисе i ,

j , k , то

22

R

R

R

R R

]=

i

j

k

x1

y1

z1

[a,b

.

x2

y2

z2

Площадь параллелограмма, построенного на векторах

R

a,b,

можно определить по формуле

S =

R

R

.

[a,b ]

равна S =

1

AC

BD

, то

BD

=

2S

.

2

AC

C

D

A

Рис. 4.2

1. Находим координаты векторов AB,

AC и длину

AC

векто-

ра AC :

R

R

R

+

R

− 8k ;

AB = −i

+ 2 j

− 4k ; AC = 5i

4 j