- •Содержание
- •1. ОБЩИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ СТУДЕНТУ-ЗАОЧНИКУ ПО РАБОТЕ НАД КУРСОМ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
- •2. ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ И ОФОРМЛЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
- •3. ПРОГРАММА
- •3.1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
- •3.2. Введение в математический анализ
- •3.3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •3.4. Применение дифференциального исчисления для исследования функций и построения их графиков
- •4. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
- •4.1. Матрицы
- •4.3. Скалярное произведение векторов
- •4.4. Векторное произведение векторов
- •4.5. Смешанное произведение векторов
- •4.6. Прямая и плоскость
- •4.7. Линии второго порядка
- •4.8. Поверхности второго порядка
- •5. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
- •5.1. Предел числовой последовательности. Предел функции
- •6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
- •6.1. Дифференцирование функций
- •6.2. Производные и дифференциалы высших порядков. Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •6.3. Приложение теорем Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя
- •6.4. Формула Тейлора и ее приложения
- •7.1. Исследование функций на экстремум. Выпуклость и вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты
- •7.2. Исследование функций и построение их графиков
- •КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
- •Литература
П р и м е р 6.7. Найти дифференциалы 1-го, 2-го, …, n-го порядков функции y = (2x - 3)3 .
Р е ш е н и е .
dy = 3(2x - 3)2 2dx = 6(2x - 3)2 dx,
d 2 y =12(2x - 3)2(dx)2 = 24(2x - 3)(dx)2 , d 3 y = 48(dx)3, dy = 0(dx)4 = 0,K, d n y = 0.
6.3. Приложение теорем Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя
1. Теорема Ролля. Если функция f (x) непрерывна на отрезке
[a; b], дифференцируема на интервале (a; b) и |
f (a) = f (b), то су- |
ществует хотя бы одна точка x Î(a;b) такая, что |
′ |
f (x) = 0 . |
|
2. Теорема Лагранжа. Если функция f (x) |
непрерывна на от- |
резке [a; b] и дифференцируема на интервале (a; b) , то существует
точка xÎ (a; b) |
такая, что |
|
′ |
|
|
|
||||
f (b) - f (a) = f (x)(b - a) (формула Ла- |
||||||||||
гранжа). |
|
|
|
|
|
|
f (x) и g(x) непрерывны на |
|||
3. Теорема Коши. Если функции |
||||||||||
отрезке |
[a; b], |
дифференцируемы |
на |
интервале |
(a; b) |
и |
||||
′ |
"x Î (a; b) , то |
существует |
точка |
xÎ (a; b) |
такая, |
что |
||||
g (x) ¹ 0, |
||||||||||
f (b) − f (a) |
f ′(ξ) |
|
|
|
|
|
||||
g(b) - g(a) |
= |
g¢(x) |
(формула Коши). |
|
|
|
|
П р и м е р 6.8. Доказать, что уравнение 3x5 +15x - 8 = 0 имеет только один действительный корень.
Р е ш е н и е . Поскольку функция f (x) = 3x5 +15x - 8 непрерывна и на концах отрезка [0; 1] принимает значение разных знаков
51
( f (0) < 0, f (1) > 0), то по первой теореме Больцано– Коши на интервале (0; 1) уравнение f (x) = 0 имеет корень. Предположим, от
противного, что это уравнение имеет два действительных корня x = a, x = b, f (a) = f (b) = 0 .
Тогда по теореме Ролля на интервале (a; b) существовала бы
точка ξ , в которой f ′(x) = 0 . Но f ¢(x) = 15x4 +15 ¹ 0 при дейст-
вительных x . Полученное противоречие доказывает, что действительный корень – единственный.
П р и м е р 6.9. Используя формулу Лагранжа, доказать неравен-
ство sin x2 - sin x1 £ x2 - x1 .
Р е ш е н и е . Функция f (x) = sin x удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа на любом отрезке [x1; x2 ]; f ′(x) = cos x . Поэтому sin x2 - sin x1 = cos x × (x2 - x1). Отсюда, учитывая, что cos x £ 1,
имеем sin x2 - sin x1 = cos x x2 - x1 £ x2 - x1 .
П р и м е р |
6.10. Написать формулу Коши и найти значение ξ |
||||||||||||
для функций |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|||
f (x) = sin x, g(x) = cos x на отрезке 0; |
|
. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||
Р е ш е н и е . |
Все |
|
условия |
теоремы |
Коши |
|
выполнены: |
||||||
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
||
g¢(x) = -sin x ¹ 0, x Î |
0; |
. Поэтому |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
sin p - sin 0 |
cos x |
|
|
p |
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
= |
-1 = ctgx, |
x = - |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
; |
4 . |
|
|
||||
|
|
p |
|
|
- sin x |
|
|||||||
|
cos |
- cos 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Правило Лопиталя (раскрытие неопределенностей |
0 |
и |
¥ ). |
||||||||||
|
|||||||||||||
O |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
¥ |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пусть U (x0 ) – |
окрестность точки x0 с выброшенной точкой x0 . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
52 |
|
|
|
|
|
|
Т е о р е м а . Пусть функции f (x) и g(x) дифференцируемы на
O |
O |
(x0 ) . |
|
|
|
|
||
U (x0 ); g¢(x) ¹ 0, x ÎU |
|
|
|
|
||||
Если |
lim f (x) = 0 |
|
и lim j(x) = 0 |
(или lim f (x) = ¥ и |
||||
|
x− x0 |
|
x→x0 |
x→x0 |
||||
lim j(x) = ¥ ), то lim |
|
f (x) |
= lim |
f ′(x) |
|
при условии, что сущест- |
||
|
|
|
|
|||||
x→x0 |
x→x0 g(x) |
x→x0 g¢(x) |
|
вует предел отношения производных.
З а м е ч а н и я : 1. Аналогичная теорема справедлива и в случае x0 = ¥ .
2. Если частное |
f ′(x)/ g′(x) в точке x0 также есть неопределен- |
|||
ность вида |
0 |
или |
∞ |
и производные f ′(x) и g′(x) удовлетворяют |
|
¥ |
|||
0 |
|
|
соответствующим условиям, то можно перейти к отношению вторых производных и т.д.
3. Неопределенности вида 0 × ¥ или ∞ − ∞ алгебраическими пре-
образованиями функции приводятся к неопределенности вида 0 0
или ∞∞ , и далее применяется правило Лопиталя.
4. В случае неопределенности вида 00 , или ¥0 , или 1∞ следует прологарифмировать функцию и предварительно найти предел ее логарифма.
П р и м е р 6.11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 2x - sin 3x |
|
0 |
|
2 cos 2x - 3cos 3x |
|
|||||
lim |
|
= |
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
= -1. |
|
|
1 |
|
|
|||||||
x→0 arcsin x |
|
0 |
x→0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 - x2 |
|
53
П р и м е р 6.12.
|
x3 |
|
∞ |
|
|
lim |
|
= |
|
= |
lim |
|
|||||
x→+∞ 3x |
|
∞ |
|
x→+∞ |
|
∞ |
= |
= |
|
|
|
∞ |
|
П р и м е р 6.13. |
|
|
|
3x2 |
|
∞ |
|
|
6x |
|
|
|||
|
|
|
= |
|
= |
lim |
|
|
|
= |
|
|
3x ln 3 |
|
|
3 |
|||||||
|
|
∞ |
|
x→+∞ 3x ln |
2 |
|
|||||
|
lim |
|
6 |
|
= 0. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x→+∞ 3x ln3 3 |
|
|
|
|
|
|
lim 1 − → −
x 1 x 1
1 −1
= lim x − x→1 ln х + x 1
x
|
1 |
= (∞ − ∞) = lim |
ln x − x +1 |
0 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
= |
|
|
||||
|
|
(x −1)ln(x) |
|
|
|
||||||||||||
|
ln x |
|
x→1 |
0 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1− x |
|
0 |
|
|
|
−1 |
|
|
|
1 |
|
|||
= lim |
|
= |
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
= − |
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||
|
x→1 x ln x + x −1 |
|
0 |
x→1 ln x +1+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
. Здесь неопределенность вида 1∞ . |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
||||||||||||||||||||||
П р и м е р 6.14. lim |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
sin x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Обозначим y = |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Логарифмируя и применяя правило Ло- |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
питаля, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|||||
lim(ln y) = lim |
|
|
|
|
ln |
|
|
|
= (¥ × 0) |
= lim |
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
= |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||||||||||||
x→0 |
|
x→0 |
|
x2 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x→0 |
|
|
x2 |
|
|
|
0 |
|
|||||||||||
|
x |
|
|
× x cos x - sin x |
1 |
|
x cos x - sin x |
|
0 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
= |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|||||||
|
|
|
|
= |
1 |
lim |
cos x - x sin x - cos x |
= - |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 x→0 |
|
|
|
|
|
|
3x2 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
54